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N.° IX. LE SFERE OMOCENTRICHE, ECC. 27

neta dal polo fisso B è danque ad ogni istante del movimento ugnale alla distanza del polo mobile P dal pnnto O, polo fisso del circolo ABCD.


Proposizione IV. Teorema. — Le stesse cose essendo poste, la lunghezza della perpendicolare rettilinea abbassata dal pianeta M sul piano diametrale CD (fig.4) sarà ad ogni istante uguale alla lunghezza della perpendicolare abbassata dal polo P sul piano ortogonale ABCD.

Il circolo massimo KOP della fig. 4 si prolunghi fino in L. L’arco LO è di un quadrante, e così pure è di un quadrante l’arco PK, per esser P polo di EM (Prop. II). Dunque arco LP = arco OK. Ma nella proposizione precedente si ò dimostrato, che arco OK = arco MH. Dunque LP = MH. Essendo uguali questi archi perpendicolari, saranno pure uguali le perpendicolari rettilinee corrispondenti abbassate da P sul piano del circolo ABCD, e da M sul piano del circolo COD1.

Corollario. Quindi si ricava una facile costruzione della distanza del pianeta dal piano diametrale. Descrivasi (fig. 5) in piano un circolo uguale al circolo minore QR percorso dal polo P, e condotti i due diametri perpendicolari ab, cd si faccia l’angolo aop uguale all’argomento. La perpendicolare pr sarà la cercata distanza del pianeta dal piano diametrale.

Scolio. La precedente costruzione mette subito davanti agli occhi la legge, con cui varia la distanza del pianeta M dal piano diametrale. Ad ogni rivoluzione delle due sfere, il polo P descriverà il suo parallelo una volta, e così pure il suo rappresentativo p della fig. 5.a. Quando P si trova nel piano fondamentale, p sta in a od in b, e la distanza del pianeta dal piano diametrale ò uguale al raggio del parallelo. Quando P si trova nel piano ortogonale, cioè in Q od in R, p si troverà in c o in d, il pianeta si troverà nel piano diametrale. E la distanza del pianeta da tal piano seguirà le fasi del moto oscillatorio, che il piede q della perpendicolare pq fa sul diametro ab durante il rivolgersi uniforme di p sulla circonferenza del circolo abcd2.


Proposizione V. Teorema. — Se per i punti M ed si conduca (fig. 3.a) il circolo minore avente per polo il polo E del circolo APGB, e dal punto M, luogo del pianeta, si abbassi la distanza rettilinea perpendicolare MR sul piano diametrale: questa distanza avrà un rapporto costante col diametro del parallelo M, qualunque sia la posizione del pianeta M.

Abbiamo veduto, nel corollario della proposizione II, che l’arco MO del circolo minore circonferenza di questo, come l’inclinazione AQ a tutto il circolo massimo ABCD. La perpendicolare abbassata da M su quel diametro del parallelo, che passa per, sarà evidentemente la stessa, che la perpendicolare abbassata da M sul piano diametrale. Questa perpendicolare avrà dunque al diametro del parallelo il rapporto costante, che la perpendicolare QS ha al diametro AB, essendo OM, AQ archi simili di circoli diversi.

Corollario. Così pure la saetta della semicorda RM del circolo minore, cioè la distanza rettilinea del punto al piede R della perpendicolare RM, avrà al diametro di esso circolo minore il rapporto costante, che la saetta AS al diametro AB.


Proposizione VI. Teorema. — Se, muovendosi le due sfere di moti uniformi e contrarj secondo le supposizioni fondamentali, ad ogni posizione che prenda il punto M si abbassi la perpendicolare MR sul piano diametrale (fig. 3.a), il piede R di questa percorrerà con moto uniforme su di esso piano la circonferenza di un circolo tangente in alla sfera, ed avente il diametro uguale alla saetta AS; e gli archi descritti da R su questo circolo avranno un’ampiezza doppia degli archi corrispondenti descritti da P sul proprio parallelo.


  1. In linguaggio moderno: essendo uguali gli archi LP, HM, saranno pure uguali i loro seni.
  2. In linguaggio moderno, detta i l’inclinazione, χ la distanza del pianeta dal piano diametrale, θ l’argomento, si ha, fatto il raggio della sfera = 1,
    χ = sin i cos θ