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CAPITOLO VII - § 43

vergente; se detto rapporto è maggiore od uguale ad 1, la serie è divergente.

Se ne deduce facilmente il seguente corollario, molto utile in pratica: Se in una serie a termini tutti positivi (o tutti negativi) il rapporto di un termine al precedente ha un limite minore di 1 ¹ la serie è convergente; se ha un limite maggiore di 1, la serie è divergente. Sia $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <1$ . Sia k un numero compreso tra $\alpha$ ed $1$ . Poniamo $\epsilon =k-\alpha$ . Esisterà oer definizione di limite un intero m tale che per $n\geq m$ (cioè quando n è nell'intorno $<8m,\infty )$ di $\infty$ ), valgono le

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-\alpha =\epsilon$ , $\alpha -{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\epsilon$ .

e in particolare quindi la ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<\alpha +\epsilon =k<1$ . Quindi per il teorema precedente la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ sarà convergente.

Se invece $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$ , allora ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ finirà per diventare e restare maggiore od uguale a 1; pel teorema precedente, la serie sarà divergente².

Se $\lim {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ non esiste, o vale $1$ nulla si può affermare in generale.

Un altro criterio di convergenza sarà dato al § 63, δ.

Es. La serie $1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\cdots$ è convergente.

↑ Si potrebbe dire anche: minore di un numero k minore di 1. Ma questa frase più complicata sarebbe nel caso attuale equivalente a quella più semplice del testo.
↑ La convergenza di $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ nel caso che $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<math><1$ si può anche in modo meno completo, ma più intuitivo, esporre così. Se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ tende ad $\alpha <1$ , esso finisce col diventare e restare tanto vicino quanto si vuole ad $\alpha$ : cioè, se k è un numero compreso tra α ed 1, il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ , da un certo valore di n in poi, sarà minore di $k<1$ . E quindi la serie converge. Del resto (oss. 6, pag. 109) sappriamo già che dalla $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <k$ si deduce che da un certo valore di n in poi il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$ .

[1] Si potrebbe dire anche: minore di un numero k minore di 1. Ma questa frase più complicata sarebbe nel caso attuale equivalente a quella più semplice del testo.

[2] La convergenza di $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ nel caso che $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<math><1$ si può anche in modo meno completo, ma più intuitivo, esporre così. Se ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ tende ad $\alpha <1$ , esso finisce col diventare e restare tanto vicino quanto si vuole ad $\alpha$ : cioè, se k è un numero compreso tra α ed 1, il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ , da un certo valore di n in poi, sarà minore di $k<1$ . E quindi la serie converge. Del resto (oss. 6, pag. 109) sappriamo già che dalla $\lim _{n=\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\alpha <k$ si deduce che da un certo valore di n in poi il rapporto ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$ .

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