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serie di potenze

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non troppo piccolo, ed è la cosidetta differenza tavolare, il cui ufficio è così noto a che abbia consultato tavale di logaritmi(pag. 201, § 63, γ).

7° In modo affatto analogo si prova che per

$|x|<1$, $1-{\frac {\pi }{4}}<y<{\frac {\pi }{4}}$,

vale la:

$y={\text{arctg}}\,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+6{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+.....$

Basta osservare che per $|x|<1$ la serie al secondo membro converge ed ha ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ per derivata, e che per $x=0$ essa si annulla come ${\text{arctg}}\,x$. Da tale serie si deducono formole notevoli per il calcolo di $\pi$.

Così osservando che ${\frac {\pi }{6}}=\mathrm {artg} {\frac {1}{\sqrt {3}}}$ e che ${\frac {1}{\sqrt {3}}}<1$, si trova, ponendo $x={\frac {1}{\sqrt {3}}}$:

$\pi =2{\sqrt {3}}\left\{1-{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}-{\frac {1}{7}}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}+.....\right\}$

Un metodo ancor più comodo per il calcolo numeri di $\pi$ è il seguente.

Sia $\alpha$ l'angolo, la cui tangente è ${\frac {1}{5}}$. Sarà

$\mathrm {tg} \,2\,\alpha ={\frac {2\mathrm {tg} \,\alpha }{1-\mathrm {tg} ^{2}\,\alpha }}={\frac {5}{12}}$

$\mathrm {tg} \,4\,\alpha ={\frac {2\,\mathrm {tg} \,2\alpha }{1-\mathrm {tg} ^{2}\,2\alpha }}=1+{\frac {1}{119}}$.

Essendo $\mathrm {tg} \,4\alpha >1$, sarà $4\alpha >{\frac {\pi }{4}}$. Esisterà un angolo positivo $\beta$ tale che

$\beta =4\alpha -{\frac {\pi }{4}}$.

$\mathrm {tg} \beta =\mathrm {tg} \left(4\alpha -{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\mathrm {tg} \,4\alpha -\mathrm {tg} {\frac {\pi }{4}}}{1+\mathrm {tg} \,4\alpha {\text{tg}}{\frac {\pi }{4}}}}={\frac {1}{239}}$.

Sarà allora:

${\frac {\pi }{4}}=4\alpha -\beta =4\,\mathrm {arctg} {\frac {2}{10}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}$