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capitolo xiii — § 81-82

Più avanti, p. es., daremo un'altra formola ottenuta conguingendo $A$ con $B$ col segmento rettilineo $AB$, imponendo però alle $f'_{x},f'_{y}$ la ulteriore condizione di essere funzioni continue.

Il teorema della media si può estendere in generale alle funzioni di $n$ variabili con metodi e ragionamenti affatto analoghi a quelli da noi adoperati nel caso di funzioni di due variabili.

Se $f(x,y,.....,z,t)$ è una funzione di $n$ variabili, si trova la fromola generale:

$f(x+h,y+k.....z+l,t+m)-f(x,y.....z,t)=$

{{centrato\$hf'_{x}(x+\theta h,y.....z,t)+$}}

$+hf'_{y}(x+h),y+\theta 'k,.....,z,t)+$

$.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,+$

$+lg'_{z}(x+h,y+k,.....,z+\theta ''l,t)+$

$mf'_{t}(x+h,y+k,.....,z+l,t+\theta '''m)$.

§ 82. — Differenziali.

Supponiamo che $f'_{x}$ e $f'_{y}$ siano tutte e due continue. Allora sarà:

$\lim _{h_{0}}f'_{x}(x+\theta h,y)=f'_{x}(x,y)$

e                    $\lim _{h=0}[f'_{x}(x+\theta h,y)-f'_{x}(x,y)]=0$.

Ponendo:

$f'_{x}(x+\theta h,y)-f'_{x}(x,y)=\alpha$,

si ha:                  $f'_{x}(x+\theta h,y)=f'_{x}(x,y)+\alpha$.               (1)

Con le stesse considerazioni si trova che:

$f'_{y}(x+h,y+\theta 'k)=f'_{y}(x,y)+\beta$, (2)

dove $\alpha$ e $\beta$ sono delle quantità che tendono a zero con $h$ e $k$.

Dalla formola che esprime il teorema della media, ricordando che a (1) e la (2) si deduce:

$f(x+h,y+k)-f(x,y)=h[f'_{x}(x,y)+\alpha ]+$

$+k[f'(x,y)+\beta ]=[hf'_{x}(x,y)+kf'_{y}(x,y)]+$]]

$+[\alpha h+\beta k]$     (3)

Questa formola dice che la differenza $f(x+h,y+k)-f(x,y)$, incrementato che la funzione $\mathrm {f}$ subisce nel passare dal punto $\mathrm {A=(x,y)}$ al punto $\mathrm {B=(x+h,y+k)}$ è la somma di due quantità: la prima: $hf'_{x}+kf'_{y}$ che è nota, la seconda $\alpha h+\beta k$ che è una quantità incognita ,infinitesima di ordine