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capitolo xiv — § 92-93

Come nel problema precedente si dimostra che queste condizioni sono sufficienti almeno per il caso che il campo di variabilità per le $M,N,P$ sia un parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati, ed anche in casi assai più generali.

§ 93. — Cenno di un problema analogo ai precedenti.

Un problema analogo è quello di determinare una funzione $\iota (x,y)$ che soddisfi alla ${\frac {\partial ^{2}x}{\partial x\partial y}}=P(x,y)$, dove $P(x,y)$ è una funzione data a priori finita e continua in un rettangolo, avente i lati paralleli agli assi coordinati; e siano $a,b$, p. es., le coordinate di quel vertice, che ha la minima ascissa e la minima ordinata.

La nostra equazione si può scrivere:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)=P(x,y)$

donde

${\frac {\partial z}{\partial y}}=\int _{a}^{x}P(x,y)dx+\gamma$,

dove $\gamma$ è una costante rispetto alla $x$, ed è quindi una qualsiasi funzione della $y$ (continua, perchè in questi studi ci occupiamo solamente di funzioni continue).

Sarà perciò:

               $z=\int _{b}^{y}\left[\int _{a}^{x}P(x,y)dx\right]dy+\varphi (y)+f(x)$          (1)

dove $\varphi (y)$ è l'integrale di $\gamma$; cioè, essendo $\gamma$ una funzione arbitraria, $\varphi (y)$ è una funzione arbitraria della $y$ (a derivata continua). Nella (1) compare anche $f(x)$, funzione arbitraria di $x$, perchè si è integrato rispetto a $y$, e quindi l'integrale resta determinato a meno d'una costante (rispetto ad $y$ che può essere una funzione affatto qualunque di $x$, ma che supporremo derivabile, volendo che esista $z'_{z}$.

Se nella (1) poniamo ora l'ipotesi che $P8x,y)$ sia costantemente zero, e quindi7

$\int _{b}^{y}dy\left[\int _{a}^{x}P(x,y)dx\right]=0$,

{{smaller|troviamo che la funzione più generale $z(x,y)$; che ha la derivata mista di secondo ordine uguale a zero, è somma di due funzioni, l'una di $x$ e l'altra di $y$ affatto arbitrarie (ma derivabili), e cioè

                              $z=\varphi (y)+f(x)$.                                                  (2)