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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Infatti ${\frac {S(a,b)}{b-a}}$ è in tal caso compreso tra $M$ e $m$; ciò vale $F(c)$, ove $c$ è un conveniente prunto sull'intervallo $(a,b)$. perciò, se $a,b$ tendono ad $x$, allora ${\frac {S(a,b)}{b-a}}$ tende ad $F(x)$.

§ 95. — Illustrazioni varie.

Abbiamo riconosciuto che la funzione additiva $S(a,b)$, che ha la derivata continua $F(x)$, coincide con$\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo teorema si può illustrare in molti modi:

$\alpha$) Se p. es. $F(x)\geq \,0$, l'area $S(a,b)$ del rettangoloide definito dall'asse delle $x$, dalla curva $y=F(x)$ e dalle rette $x=a,x=b$ è evidentemente funzione additiva dell'intervallo $(a,b)$ (almeno se l'area si considera positiva se $a<b$ e negativa se $a>b$). Tale rettangolide è contenuto nel rettangolo che ha per base l'intervallo $(a,b)$ dell'asse delle $x$ e per altezza il massimo valore $M$ di $F(x)$ in tale intervallo, e contiene il rettangolo di ugual base, avente per altezza il minimo valore $m$ di $F(x)$. Perciò $S(a,b)$ è compreso tra $(b-a)M$ e $(b-a)m$, ed ha quindi $F(x)$ per derivata. Esso vale pertanto $\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo ragionamento è, in altre parole, la ripetizione di considerazioni svolte da noi altrove (pag. 165).

$\beta$) Se $F(x)$ indica la velocitò che un punto mobile $N$ su una retta $r$ ha all'istante $x$, e $\varphi (x)$ indica lo spazio percorso da $N$, o anche la distaza $ON$, che $N$ ha all'istante $x$ da un'origine fissa $O$, si riconosce immediatamente che $\varphi (x)=\int F(x)dx$ e che quindi $\varphi (b)-\varphi (a)$ (spazio percorso dall'stante $a$ all'istante $b$) è la funzione additiva, che ha $F(x)$ per derivata, e perciò vale precisamente l'integrale definito da $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,B)$. Basta osservare che lo spazio percorso $\varphi (b)-\varphi (a)$ gode delle due seguenti proprietà:

1) Se $\alpha$ è un intervallo di tempo, somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, lo spazio percorso in $\alpha$ è uguale alla somma degli spazi percorsi in $\alpha _{1}$ e in $\alpha _{2}$; cioè òo spazio percorso è funzione additiva degli intervalli di tempo.

2) Lo spazio $\varphi (b)-\varphi (a)$ percorso da $N$ nell'intervallo di tempo $(a,b)$ è compreso tra gli spazi, che sarebbero percorsi