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funzioni additive generali e integrali multipli

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Esempio.

Cosi, come abbiamo già osservato a pag. 335, se $I$ è una lamina o un corpo pesante, $\tau$ è l'area o il volume di un suo pezzo, $\rho$ ne è la densità in un punto, allora l'ascissa del suo centro di gravità vale ${\frac {\int _{I}x\rho d\tau }{\int _{I}\rho d\tau }}$.

§ 103. — Calcolo di un integrale superficiale.

Se $\mathrm {F(x,y)}$ è una funzione continua in una regione $\mathrm {\sigma }$ del piano $\mathrm {xy}$, come si calcola lo $\mathrm {\int _{\sigma }F(x,y)d\sigma }$ ? o meglio: Come se ne può ridurre il calcolo a quello di integrali deifniti? Per vederlo cominceremo ad usare metodi poco rigorosi salvo a verificare poi i risultati ottenuti nel modo più preciso.

Se noi dividiamo l'area $\sigma$ in pezzetti con rette parallele agli assi delle $x$ e delle $y$, l'area $\sigma$ verrà scomposta in rettangoli, e in altri pezzetti, il cui contorno contiene dei pezzi del contrno $\sigma$. Se noi supponiamo (cfr. § 99, pag. 328) che questi ultimi pezzetti siano trascurabili (che diano cioè un contribuo infinitesimol), basterà che consideriamo i rettangolini tutti interni a $\sigma$, la cui area è $\Delta x\Delta y$, se $\Delta x$ e $\Delta y$ sono rispettivamente le distanze di due delle rette da noi tirate parallelamente all'asse delle $x$, o all'asse delle $y$. Considerando dapprima i rettangoli posti p. es. in una stessa striscia parallela all'asse delle $x$, e poi le varie strisce, la somma $\Sigma F_{i}\delta _{i}$ dell'ultimo paragrafo diventa:

$\Sigma \,F\,\Delta \,x\,\Delta \,y\,=\,\Sigma \,\Delta \,y\,\Sigma \,F\,\Delta \,x$,

dove la $\Sigma F\Delta x$ è relativa ai rettangoli di una stessa striscia, mentre l'altro simbolo $\Sigma$ di somma si riferisce alle varie striscie. Possiamo scegliere gli stremi di una retta¹ $y={\text{cost.}}$ nel contorno di $\gamma$, e poi i valori $F$² intermedi in guida tale che

22 — G. Fusini, Analisi matematica.

1. Suppongo gli estremi di una retta $y={\text{cost.}}$ sul controrno di $\gamma$: ciò che è un errore perchè avendo trascurato i pezzetti posti sul contorno di $\gamma$, potrebbe darsi che gli estremi da considerare fossero interni a $\gamma$. Un'osservazione analoga si può ripetere più sotto. Noi ammettiamo provvisoriamente che l'errore commesso tenda a zero e sia quinti trascurabile.
2. Suppongo che $F$ sil il valore assunto da $F(x,y)$ su uno dei lati del nostro rettangolo paralleli all'asse delle $x$.