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| applicazioni geometriche | 21 |
§ 7. — Aree e volumi.
Quando si studia in geometria elementare il problema della misura dell’area o del volume di una figura piana1 o solida, si sceglie un poligono o un poliedro come unità di misura; il quale (secondo l’uso universale) è il quadrato o il cubo, il cui lato è l’unita di misura delle lunghezze.
Osservazioni. — Nonostante la scrittura in doppia colonna, il rigore richiede che la trattazione qui svolta per i volumi segua quella svolta nella prima colonna per le aree delle figure piane.
| Nelle matematiche elementari è definita l’area di ogni poligono 2 che è un numero positivo soddisfacente alle seguenti proprietà: | Nelle matematiche elementari è definito il volume di ogni pluricilindro 3 che è un numero positivo soddisfacente alle seguenti proprietà: |
| 1°) Poligoni uguali hanno aree uguali. | 1°) Pluricilindri uguali hanno volumi uguali. |
| 2°) Se il poligono P è somma dei poligoni P1, P2, l’area di P è somma delle aree dei poligoni P1, P2. Da cui segue: | 2°) Se il pluricilindro P è somma dei pluricilindri P1, P2, il volume di P è somma dei volumi di P1, P2. Ne segue: |
| 3°) Se il poligono P1 è contenuto in P, l’area di P1 non supera l’area di P. | 3°) Se il pluricilindro P1 è contenuto in P, il volume di P1 non supera il volume di P. |
| Possiamo noi definire l’area di figure piane più generali dei poligoni? Ecco il problema che vogliamo esaminare. Naturalmente dobbiamo porre una definizione che conservi all’area di figure piane più generali dei poligoni le proprietà su accennate per le aree dei poligoni: proprietà del resto comuni alle | Possiamo noi definire i volumi di solidi più generali dei pluricilindri? Ecco il problema che vogliamo esaminare. Naturalmente dobbiamo porre una definizione che conservi al volume delle figure solide più generali dei pluricilindri le proprietà su accennate per i volumi dei pluricilindri: proprietà del resto |
- ↑ Qui e nel seguito usiamo la parola figura piana (sarebbe più preciso dire dominio connesso) (confronta l’osservazione critica in fine del § 7).
Nei casi più comuni delle applicazioni si tratta di figure limitate da tratti di rette, cerchi, ellissi, eccetera.Osservazioni analoghe valgono per i solidi di cui ci occuperemo.
- ↑ Vedremo che sovente potremmo parlare soltanto di plurirettangoli (cioè poligoni somma di un numero finito di rettangoli parziali). Ciò che rende più evidente ancora l’analogia tra i due problemi: quello della misura delle aree, quello della misura dei volumi.
- ↑ Si potrebbe anche parlare di piramidi, o di poliedri. Ma per noi basta parlare di pluricilindri (cioè di un solido somma di un numero finito di cilindri).
