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CAPITOLO XVIII.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
§ 109. — Considerazioni e definizioni fondamentali.
Il calcolo integrale si propone il seguente problema fondamentale: Conosciuta la derivata di una funzione, come si può calcolare questa funzione?
Ora possiamo proporci il seguente problema più generale: Sia una funzione di una o più variabili indipendenti; consideriamone le derivate di primo, di secondo..... ennesimo ordine, e supponiamo che sia nota soltanto qualche relazione fra la , le variabili indioendenti e queste sue derivata. Ci domandiamo:
In quanto può una tale relazione servire per determinare la funzione incognita ?
Una relazione di questo genere si chiama una equazione differenziale e il problema che vi si riferisce, e che noi abbiamo enunciato, si chiama: il problema dell'integrazione delle equazioni differenziali.
Cominciamo a porre una distinzione fondamentale. Può avvenire che le variabili indipendenti si riducano ad una sola e quindi che la relazione data sia una relazione fra la funzione, la variabile e le derivate di ordine 1, 2, ....., della funzione rispetto all'unica variabile. Oppure può darsi che le variabili indipendenti siano più d'una; e in tal caso le derivate, che figurano nella nostra equazione, saranno derivate parziali.
Nel primo caso l'equazione si dirà a derivate ordinarie, nel secondo si dirà a derivate parziali.
Nell'uno e nell'altro caso si chiamerà ordine n dell'equazione quello della derivata di più alto ordine che in essa comparisce.
Può darsi che invece di una sola relazione tra le variabili, la funzione e le sue derivate ne siano date più, da considerarsi come simultanee; allora si ha ciò che si chiama sistema di equazioni differenziali. Può anche darsi che si abbiano sistemai di equazioni differenziali con più funzioni incognite.
