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capitolo xviii — § 111

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2° Integrare l'equazione $y=x\psi (y')+\varphi (y')$ ($\varphi ,\psi$ funzioni derivabili).

Ris. Derivando si ottiene:

$y'=\psi (y')+[x\psi '(y')+\varphi '(y')]{\frac {dy'}{dx}}$.

Posto $y'=t$, se ne deduce

${\frac {dx}{dt}}=x{\frac {\psi '(t)}{t-\psi (t)}}+{\frac {\varphi '(t)}{t-\psi (t)}}$,

escluso il caso $\psi (t)=t$, che abbiamo già trattato all'esempio 1°.

Questa equazione, in cui si considera $t$ come variabile indipendente ed $x$ come funzione incognita, è un'equazione differenziale lineare del primo ordine che già sappiamo risolvere. E si trova

$x=e^{\int {\frac {\psi (t)}{t-\psi (t)}}dt}\left\{\int {\frac {\varphi '(t)}{t-\psi (t)}}e^{-\int {\frac {\psi '(t)}{t-\psi (t)}}dt}dt+{\text{cost.}}\right\}$.

L'equazione differenziale dà poi

$y=x\psi (t)+\varphi (t)$.

Restano così espressi $x,y$ in funzione di un parametro $t$; e con un'eliminazione si potrebbe (volendo) dedurne la $y$ espressa in funzione di $x$. Si verifichi che effetivamente ${\frac {dy}{dx}}=t$.

3° Integrare

$(ax+by+c)dx+(hx+ky+l)dy=0$

$(a,b,c,h,k,l={\text{cost.}}$.

Ris. Posto $x=\xi +m,y=\eta +n$ ($m,n$ costanti), l'equazione diventa: {{centrato|$(a\xi +b\eta +\mu )d\xi +(h\xi +k\eta +\lambda )d\eta =0$ ove:

$\mu =am+bn+c$,

$\lambda =hm+hn+l$.

Se $ak+bh\not =0$, si possono scegliere le $m,n$ in modo che $\lambda =\mu =0$.

L'equazione diventa:

$(a\xi +b\eta )\xi +(h\xi +k\eta )d\eta )=0$,