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capitolo xx — § 131-132

In tal caso e in tal caso soltanto:

$V=\int _{A}^{B}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)$

non dipenderà dal cammino $C$ seguito per andare da $A$ e $B$ . Teniamo fisso il punto $A$ e facciamo variare $B$ in $\tau$ . Per ogni posizione di $B$ avremo uno e un solo valore $V(B)$ di $V$ . Perciò $V$ sarà una funzione delle coordinate $x,y,z$ di $B$ nel campo $\tau$ . Come al § 91 a pag. 304 possiamo dimostrare che il differenziale di tale funzione vale proprio $X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$ , cioè che:

Se il campo $\tau$ soddisfa alle condizioni enunciate, e in esso le $\mathrm {X,Y,Z}$ soddisfano alle (1), esiste una funzione $\mathrm {V}$ , le cui derivate parziali del primo ordine sono $\mathrm {X,Y,Z}$ , ossia che ha per differenziale $\mathrm {X\,dx+Y\,dy+Z\,,dz}$ . Tale funzione $\mathrm {V}$ è, a meno del segno, il potenziale del vettore che ha per componenti $\mathrm {X,Y,Z}$ .

Questo teorema ci era già noto (§ 92) in casi particolari.

Nel caso che il campo $\tau$ non soddisfacesse alle condizioni enunciate si potrebbe ancora dimostrare l'esistenza di una tale funzione $V$ . Ma una tale funzione uscirebbe dal campo delle funzioni fin qui studiate, perchè in uno stesso punto avrebbe infiniti valori. Un esempio ben noto è quello del potenziale dovuto a una corrente elettrica.

Le precedenti considerazioni si applicano senz'altro anche al caso più semplice dei differenziali $X\,dx+Y\,dy$ , dove $X,Y$ soddisfino alla ${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}}$ in un'area piana $\sigma$ col contorno di un solo pezzo; restano così estesi a tali aree $\sigma$ i teoremi della teoria dei differenziali esatti, di cui abbiamo discorso ai §§ 90-91</math>.

§ 132. Trasformazione deli integrali doppii.

(Cfr. §§ 108-108_bis)

$\alpha$ ) Sia $\sigma$ un campo del piano $xy$ , ne sia il contorno ¹; e sia $f(x,y)$ una funzione continua in $\sigma$ . Siano $X,Y$ due funzioni derivabili delle $x,y$ in $\sigma$