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polinomii ed equazioni algebriche

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che si può scrivere ${\binom {n}{h}}={\frac {\lfloor {\underline {n}}}{\lfloor {\underline {h}}\lfloor {\underline {n-h}}}}$. Ne risulta in particolare ${\binom {n}{h}}={\binom {n}{n-h}}$¹.

Il numeratore $n(n-1)(n-2)\ldots (n-h+1)$ della (1) dà il numero delle disposizioni di $n$ oggetti ad $h$ ad $h$ cioè il numero dei modi con cui si possono scegliere ed ordinare $h$ oggetti tra $n$ oggetti dati, quando si considerino come distinti due gruppi, anche se differiscono soltanto per l’ordine in cui si susseguono i dati oggetti. Infatti il primo oggetto di una di tali disposizioni si può scegliere ad arbitrio tra gli $n$ oggetti dati; il secondo si potrà scegliere tra i residui $n-1$; scelti i primi due oggetti, il terzo si può scegliere tra i residui $n-2$; e così via; lo $h^{\text{esimo}}$ ultimo oggetto della disposizione si può scegliere tra $n-h+1$ oggetti.

Così il denominatore $\lfloor {\underline {h}}=h(h-1)(h-2)...(h-h+a)$ è il numero delle disposizioni di $h$ oggetti ad $h$ ad $h$, cioè il numero delle permutazioni di $h$ oggetti.

La formola precedente dimostra dunque che, come si può dimostrare direttamente nel modo più semplice, il numero ${\binom {\text{n}}{\text{h}}}$ delle combinazioni di n oggetti ad h ad h è uguale al quoziente ottenuto dividendo il numero delle disposizioni di n oggetti ad h ad h per il numero delle permutazioni di h oggetti².

$\beta$) Siano $x_{1},a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ numeri qualsiasi. Consideriamo il prodotto:

$(x+a_{1})(x+a_{2})\ldots (x+a_{n})$.

L’algebra elementare insegna che questo prodotto è uguale alla somma di tutti i prodotti $P$ ottenuti moltiplicando tra di loro un addendo del binomio $x+a_{1}$, un addendo del binomio $x+a_{2}$, ..., un addendo del binomio $x+a_{n}$. Tra questi prodotti $P$ ve ne saranno alcuni che non contengono la $x$ (o, come si dice, che contengono il solo fattore $x^{0}$, altri che contengono il fattore $x$ e non il fattore $x^{2}$, altri che contengono il fattore $x^{2}$ e non il fattore $x^{3}$, eccetera, altri che contengono il fattore $x^{n}$. Per formare quelli dei prodotti $P$, che contengono il fattore $x^{h}$ e non il fattore $x^{h+1}(0\leq h\leq n)$, si dovrà scegliere in $h$ dei binomii $x+a_{1},x+a_{2},\ldots ,x+a_{n}$, il primo addendo $x$, e negli altri $n-h$ binomii si dovrà scegliere il secondo addendo, per fare poi il prodotto degli $n$ addendi così scelti. Ognuno di questi prodotti $P$ sarà dunque il prodotto di $x^{h}$ per un prodotto di $n-h$ fattori scelti tra le $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. La somma di questi prodotti $P$ sarà dunque il prodotto di $x^{h}$ per la

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1. Questa uguaglianza diventa intuitiva per chi consideri che ogni gruppo di $h$ elementi determina un gruppo di $n-h$ elementi: quello formato con gli $n-h$ elementi residui. E viceversa. Dunque tanti sono i gruppi di $h$ elementi, quanti i gruppi di $n-h$ elementi.
2. Infatti, permutando nei $\lfloor {\underline {h}}$ modi possibili gli $h$ oggetti di ogni combinazione, si ottengono tutte le disposizioni