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polinomii ed equazioni algebriche

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33° Trovare direttamente le radici quadrate, cubiche, quarte, quinte, di $\pm 1;$ cioè si risolvano direttamente le equazioni

$x^{2}\pm 1=0$

$;x^{3}\pm 1=0$

$;x^{4}\pm 1=0$

$;x^{5}\pm 1=0.$

Basta osservare che

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$     $;x^{2}+1=x^{2}-i^{2}=(x-i)(x+i)$

$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$    $;x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$

$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$

$x^{4}+1=(x^{2}+1)^{2}-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-({\sqrt {2}}x)^{2}=$

$=(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1)(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1)$

$(x^{5}-1)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}-x+1$

e che per $x\not =0$ si ha $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1=x^{2}\left\{z^{2}-z-1\right\}$ ove $z=x+{\frac {1}{x}}$

$(x^{5}+1)=(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)$

e che per $x\not =0$ si ha $x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=x^{2}\left\{z^{2}-z-1\right\}$ ove $z=x+{\frac {1}{x}}$.

Si confrontino i risultati ottenuti per questa via coi risultati ottenuti per via trigonometrica.

34° Quando avviene che le due equazioni

$x^{3}+px+q=0$

,

$x^{2}+bx+c=0$

hanno una radice comune?

35° Analoga domanda per le

$x^{3}+px+q=0$

,

$x^{4}+a=0$.

36° Trovare se esistono radici comuni alle

$x^{4}+x^{3}+4x^{2}+3x+3=0$

$x^{4}+4x^{2}+3=0$.

37° Date le somme $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$ di tre numeri, dei loro quadrati, dei loro cubi, si trovi la somma $s_{4}$ delle loro quarte potenze. Si cominci col calcolare l’equazione di cui i tre numeri sono radici.

$x^{4}+x^{3}+5x^{2}+4x+4=0$.

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