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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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L’elemento $p$ della prima matrice è l’elemento posto nella riga d’indice 3 e nella colonna d’indice 4.

Assai spesso gli $m\,n$ simboli che costituiscono la matrice (gli elementi della matrice), si indicano con una stessa lettera dell’alfabeto (per esempio, con la lettera $a$) accompagnata da due indici che variano da elemento ad elemento; il primo è l’indice della riga, il secondo è l’indice della colonna alle quali appartiene l’elemento.

Così, per esempio, se si indicano gli elementi della prima matrice con la lettera $a$, e si vuol seguire la convenzione ora fissata, si indicheranno gli elementi della prima riga $a$, $b$, $c$, $d$ rispettivamente coi simboli $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$, $a_{14}$; gli elementi $e$, $f$, $g$, $h$ rispettivamente coi simboli $a_{21}$, $a_{22}$, $a_{23}$, $a_{24}$; i quattro elementi della terza riga coi simboli $a_{31}$, $a_{32}$, $a_{33}$, $a_{34}$.

In generale una matrice a $m$ righe ed $n$ colonne s’indicherà:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2,n-1}&a_{2,n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{m,n-1}&a_{mn}\end{Vmatrix}}$

Il simbolo $a_{rs}$ indica l’elemento di una matrice, che appartiene alla $r^{ma}$ riga (riga d’indice $r$) ed alla $s^{ma}$ colonna (colonna d’indice $s$). Queste convenzioni si usano spesso per semplificare e rendere più chiare le notazioni.

Se $m\not =n$, la matrice dicesi matrice rettangolare; se $m=n$ si usano due sbarre verticali soltanto; e la matrice dicesi matrice quadrata o determinante di ordine $n$.

$\beta )$ Sia $k$ un numero intero positivo non superiore nè a $m$, nè a $n$; scegliamo a piacere $k$ colonne e $k$ righe tra le $n$ colonne e le $m$ righe della nostra matrice; i $k^{2}$ elementi in cui si incrociano le $k$ righe e le $k$ colonne scelte si troveranno disposti in modo da costituire una matrice quadrata (determinante) di ordine $k$, il quale si chiama minore della data matrice.

Così, per esempio, se $m=4$, $n=5$ si scelgano tre colonne, per esempio, la 2^a, la 4^a, la 5^^a e tre righe, per esempio, la 2^a, la 3^a, la 4^a.

I nove elementi determinati dalle intersezioni di dette righe e colonne formano il determinante ${\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}&a_{25}\\a_{32}&a_{34}&a_{35}\\a_{42}&a_{44}&a_{45}\end{vmatrix}}$, che è un minore del terzo ordine contenuto nella matrice considerata.

I minori del 1° ordine sono gli stessi elementi della matrice.