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[§ 11-12]

appendice

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Quindi, in virtù di (13)

(20)

$-\psi _{xx}\psi _{y}^{2}+2\psi _{xy}\psi _{x}\psi _{y}-\psi _{yy}\psi _{x}^{2}>0.$

Ma non abbiamo così una nuova proprietà degli indici, poichè questa disuguaglianza risulta semplicemente dalle (17).

12. Altro carattere dell’ofelimità. — Abbiamo veduto (IV, 42) che quando le ofelimità di X e di Y sono indipendenti, od anche, in generale e per grandi numeri, quando tra esse corre una dipendenza del primo genere, si può ritenere che l’ofelimità elementare di una merce composta in proporzioni qualsiasi di X e di Y scema col crescere della quantità totale.

Ciò vuol dire che se poniamo

$y=\alpha x,$

e se consideriamo una merce ottenuta con x di X e y di Y, la quantità

$d^{2}\Phi =\varphi _{xx}dx^{2}+2\varphi _{xy}dxdy+\varphi _{yy}dy^{2}$

dovrà essere sempre negativa per tutti i valori positivi di x, cioè si dovrà avere

$\varphi _{xx}+2\alpha \varphi _{xy}+\alpha ^{2}\varphi _{yy}<0.$

Perciò, come è ben noto, occorre che si abbia

(21)

$\varphi _{xx}\varphi _{yy}-\varphi _{xy}^{2}>0.$

Quando le ofelimità di X e di Y sono indipendenti, avendosi

$\varphi _{xy}=0,\;\;\varphi _{xx}<0,\;\;\varphi _{yy}<0;$

la disuguaglianza (21) è soddisfatta, e non abbiamo quindi un nuovo carattere dell’ofelimità.