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intorno alle superficie della seconda classe ecc.

Per i < 0 la (9) e la prima delle (10) danno:

Φ < 0,     Θ₁ > 0

e la seconda delle (11):

Ξ₂ < 0.

Per i positivo e compreso fra lo zero e λ la (9) dà Φ > 0. Per decidere in questo caso se la superficie (5) sia o non sia reale, si cerchi il segno di Ξ₂. La (12) da μ’ > 0, e le (20, b):

λ — μ’ < 0

dunque a maggior ragione per i < λ:

i — μ’ < 0

e conseguentemente dalla seconda delle (15):

Ξ₂ < 0.

Per i compreso fra μ e ν si ha Φ < 0; osservo poi che si ha λ’’ > 0, e dalle (21, a), (20, b):

λ’’ — μ > 0,     μ — μ’ < 0

dunque le (14), (15) ci daranno Θ₁ > 0, Ξ₂ < 0.

Per i compreso fra μ e ν si ha Φ > 0; essendo poi ν’’ > 0 e ν’’ — λ < 0 per le (21, c), così dalle (14) avremo Θ₃ < 0.

Per i > ν si ha Φ < 0, e come dianzi Θ₃ < 0.

Dunque nel caso presente tutt’i punti della retta (7) sono centri di superficie reali; ed invero abbiamo soltanto

ellissoidi pei punti del segmento indefinito che ha un termine in O;

iperboloidi ad una falda pei punti del segmento OP;

ellissoidi pei punti del segmento PQ;

iperboloidi ad una falda pei punti del segmento QR;

iperboloidi a due falde pei punti del segmento indefinito che comincia in R.

Questi cinque segmenti si denomineranno ordinatamebnte primo, secondo, terzo, quarto e quinto.

Secondo caso.

9.º In questo caso si ha:

α > 0     β < 0     γ > 0     a > 0     b > 0     c > 0

α + β + γ < 0     β + γ < 0     γ + α > 0     α + β < 0.