Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/106

92

intorno alle superficie della seconda classe ecc.

Quarto caso.

11.º In questo caso abbiamo:

$\alpha >0,$     $\beta >0,$     $\gamma <0,$     $a<0,$     $b>0,$     $c>0$

$\alpha +\beta +\gamma >0,$     $\beta -c>0,$     $\beta +a>0,$     $\gamma -a<0,$     $\gamma +b<0$.

Per $i<0$ si ha $\Psi >0$, $\Theta _{3}<0$.

Per $i$ compreso tra lo zero e $\lambda$ si ha $\Psi <0$; inoltre, se $\beta '+\gamma '>0$ le (10) danno $\Theta _{1}<0$; e se $\beta '+\gamma '<0$, si ha $\lambda ''>0$, $\lambda ''-\lambda >0$, quindi dalle (14) si ha ancora $\Theta _{1}<0$.

Per $i$ compreso fra $\lambda$ e $\mu$ si ha $\Psi >0$ e $\Xi _{3}<0$ perchè $\mu -\nu '<0$.

Per $i$ compreso fra $\mu$ e $\nu$ si ha $\Psi <0$; le (14) danno poi $\Theta _{3}>0$ perchè $\nu ''>0$ e $\nu ''-\mu <0$: inoltre, siccome $\lambda -\lambda '>0$, così le (15) danno $\Xi _{1}<0$.

Per $i>\nu$ si ha $\Psi >0$, e, come poc’anzi, $\Xi _{1}<0$.

Dunque anche in questo caso otteniamo superficie tutte reali: ed invero corrispondono iperboloidi ad una falda al primo, terzo e quinto segmento; iperboloidi a due falde al secondo; ellissoidi al quarto.

Questi sono i soli casi in cui le quattro coniche siano tutte reali, epperò tutte reali siano anche le superficie rappresentate dalla equazione (5) per valori reali del parametro $i$. Veniamo ora a considerare i casi in cui alcuna delle coniche (1) sia ideale.

12.º Innanzi tutto, osservando le (1) è facile persuadersi che se una delle quattro coniche è ideale, ve n’ha un’altra pure ideale, e le due rimanenti sono necessariamente reali: anzi i centri delle due coniche ideali sono sempre consecutivi, cioè non ponno darsi che i tre casi seguenti:

5.º caso: che siano ideali la prima e seconda conica; allora la terza è iperbole e la quarta ellisse;

6.º caso: che siano ideali la seconda e la terza conica; le due rimanenti sono iperboli;

7.º caso: che siano ideali la terza e quarta conica; allora la prima è ellisse e la seconda iperbole.

Ecco come può dimostrarsi l’enunciata proprietà. Suppongasi in primo luogo ideale la prima conica, epperò $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tutti positivi; allora dalle (19) avremo $bc<0$, $ca>0$, $ab<0$; ed inoltre, per la (18), sarà $abc<0$; quindi $a>0$, $b<0$, $c>0$. Dunque la seconda conica è ideale, la terza è un’iperbole, e la quarta un’ellisse reale.

In secondo luogo suppongasi ideale la seconda e reale la prima conica; allora:

$\alpha >0,$     $b<0,$     $c>0$