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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

déterminée $\theta$, on a:

${\begin{aligned}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}+z_{2}z_{3}&=0,\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}+z_{3}z_{1}&=0,\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}&=0.\end{aligned}}$

Donc les trois points (7) sont les sommets d’un triangle trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de chacun d’eux par rapport à la conique (1) et au cercle (3) (ou absolu) passe par les autres deux. En prenant ce triangle pour triangle des coordonnées, c’est-à-dire en posant

7’)	$y_{1}=z_{1}=0,$     $z_{2}=x_{2}=0,$     $x_{3}=y_{3}=0$

l’équation (1) deviendra

8)	$\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}=0.$

La forme de cette équation enseigne que si par l’un quelconque des points (7)’ on mène arbitrairement une corde (géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en parties égales.

Donc les points (7)’ sont des centres de la conique sphérique. En supposant $\alpha >\beta >0$ et $\gamma <0$, le point $x=y=0$ est le centre intérieur; les autres sont au dehors de la courbe.

Ainsi:

Les centres d’une conique sphérique sont des points dont chacun a la même géodésique polaire par rapport à la conique et au cercle imaginaire situé a l’infini.

3. Le tétragone^[1] complet (imaginaire) inscrit à la conique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les équations (3) et (8), on obtient:

$(\alpha -\beta )y^{2}+(\alpha -\gamma )z^{2}=0,$		deux géodésiques imaginaires;
$(\gamma -\beta )z^{2}+(\alpha -\beta )x^{2}=0,$		deux géodésiques réelles;
$(\alpha -\gamma )x^{2}+(\beta -\gamma )y^{2}=0,$		deux géodésiques imaginaires.

Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les cordes géodésiques réelles

9)	$z{\sqrt {\beta -\gamma }}+x{\sqrt {\alpha -\beta }}=0,$     $z{\sqrt {\beta -\gamma }}-x{\sqrt {\alpha -\beta }}=0.$

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1. Donné par les six grands cercles joignant les intersections de (3) et (8).

   Tm.