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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

d’où nous dérivons les trois coniques qui suivent:

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=\mathrm {U} +\mu \mathrm {A} =0,\\\mathrm {B} '&=\mathrm {U} +\mu '\mathrm {A} '=0,\\\mathrm {B} ''&=\mathrm {U} +\mu ''\mathrm {A} ''=0.\end{aligned}}$

On peut circonscrire au tétragone $\mathrm {BB} '$ une conique qui coïncide avec $\mathrm {B} ''$. En effet, on a:

$\mathrm {B} +k\mathrm {B} '=(1+k)\mathrm {U} +\mu \mathrm {A} +k\mu '\mathrm {A} ',$

donc, si nous posons:

$k={\frac {\mu (\lambda ''-\lambda )}{\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$     et     $\mu ''={\frac {\mu \mu '(\lambda '-\lambda )}{\mu (\lambda ''-\lambda )+\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$,

on obtient

$\mathrm {B} +k\mathrm {B} '=(1+k)\mathrm {B} ''.$

Donc:

Théorème III. Étant données trois coniques homocycliques $\mathrm {A}$, $\mathrm {A} '$, $\mathrm {A} ''$ et une quatrième conique quelconque $\mathrm {U}$, si aux deux tétragones $\mathrm {UA}$, $\mathrm {UA} '$ on circonscrit deux coniques $\mathrm {B}$, $\mathrm {B} '$, les deux tétragones $\mathrm {UA} ''$ et $\mathrm {BB} '$ seront inscrits dans une même conique $\mathrm {B} ''$.          (Chasles).

8. Soient données trois coniques:

$\mathrm {U} =0,$     $\mathrm {V} =0,$     $\mathrm {W} =\mathrm {U} -\mathrm {V} =0$

circonscrites à un même tétragone. On décrit une conique

$\mathrm {U} '=\mathrm {U} +\lambda (x^{2}+y^{2}+z^{2})=0$

homocyclique à $\mathrm {U}$, et une autre conique

$\mathrm {V} '=\mathrm {V} +\mu (x^{2}+y^{2}+z^{2})=0$

homocyclique à $\mathrm {V}$. Il s’ensuit que la conique

$\mathrm {W} '=\mathrm {U} '-\mathrm {V} '=\mathrm {W} +(\lambda -\mu )(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0$

est tout à la fois circonscrite au tétragone $\mathrm {U} '\mathrm {V} '$ et homocyclique à $\mathrm {W}$. De plus, les tétragones $\mathrm {UV}$, $\mathrm {U} '\mathrm {V} '$ sont inscrits dans une même conique

$\mathrm {K} =\mu \mathrm {U} '-\lambda \mathrm {V} '=\mu \mathrm {U} -\lambda \mathrm {V} =0.$