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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

d’où nous dérivons les trois coniques qui suivent:

B = U + μA = 0,

B’ = U + μ’A’ = 0,

B’’ = U + μ’’A’’ = 0.

On peut circonscrire au tétragone B B’ une conique qui coïncide avec B’’. En effet, on a:

B + kB’ = (1 + k)U + μA + kμ’A’,

donc, si nous posons:

$k={\frac {\mu (\lambda ''-\lambda )}{\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$     et     $\mu ''={\frac {\mu \mu '(\lambda '-\lambda )}{\mu (\lambda ''-\lambda )+\mu '(\lambda '-\lambda '')}}$,

on obtient

B + kB’ = (1 + k)B’’.

Donc:

Théorème III. Étant données trois coniques homocycliques A, A’, A’’ et une quatrième conique quelconque U, si aux deux tétragones U A, U A’ on circonscrit deux coniques B, B’, les deux tétragones U A’’ et B B’ seront inscrits dans une même conique B’’.          (Chasles).

8. Soient données trois coniques:

U = 0,     V = 0,     W = U — V = 0

circonscrites à un même tétragone. On décrit une conique

U’ = U + λ(x² + y² + z²) = 0

homocyclique à U, et une autre conique

V’ = V + μ(x² + y² + z²) = 0

homocyclique à V. Il s’ensuit que la conique

W’ = U’ — V’ = W + (λ — μ)(x² + y² + z²) = 0

est tout à la fois circonscrite au tétragone U’ V’ et homocyclique à W. De plus, les tétragones U V, U’ V’ sont inscrits dans une même conique

K = μU’ — λV’ = μU — λV = 0.