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sopra un problema generale di geometria.

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Data una retta OA, un punto O in essa, e due punti B, C fuori di essa, trovare una superficie tale che conducendo un suo piano tangente qualunque, e per B e C i piani ad esso paralleli, i segmenti di OA intercetti fra questi piani e il punto O abbiano fra loro una data relazione algebrica del grado n.

Siano OL, OM, ON i tre segmenti anzidetti, e sia:

F (OL, OM, ON) = 0

la relazione data. Assumo OA, OB, OC per assi delle coordinate rettilinee x, y, z; posto OB = b, OC = c, avremo:

$\mathrm {OL} =x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},$ $\mathrm {OM} =-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},$ $\mathrm {ON} =-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$

ove x, y, z sono le coordinate del punto di contatto del piano tangente che si considera. Avremo dunque l’equazione alle derivate parziali:

1)	$\mathrm {F} \left(x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},\,-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},\,-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)=0$

la primitiva singolare della quale sarà l’equazione della superficie domandata.

Siano u, v, w le coordinate tangenziali del piano tangente la superficie, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$ , $-{\frac {1}{v}}$ , $-{\frac {1}{w}}$ i segmenti degli assi compresi fra questo piano e l’origine. Avremo:

OL =

-{\frac {1}{u}}

, OM =

{\frac {bv}{u}}

, ON =

{\frac {cw}{u}}

epperò:

2)	$\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0$

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della superficie domandata.

L’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto del piano (u, v, w) è:

3)	ux + vy + wz + 1 = 0.

Per esprimere la condizione che il punto (x, y, z) appartenga alla superficie, rendo la (2) omogenea in u, v, w mediante la (3); si avrà:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0.$

Questa equazione rappresenta, insieme colla (3), la superficie conica inviluppo de’ piani tangenti condotti alla superficie (2) dal punto (3). Se questo punto appartiene alla