Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/148

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134 sulle superficie di second’ordine omofocali.

coniche di stringimento:

3)


la prima delle quali è tutta all’infinito.

La forma dell’equazione (1) mostra che tutte le superficie del sistema hanno il centro all’origine, e che per esse i piani coordinati costituiscono una comune terna di piani diametrali coniugati.

Si supponga la prima conica immaginaria cioè α, β, γ abbiano lo stesso segno, ed invero, com’è lecito supporre, positivo. In virtù della (2), le a, b, c non potranno esser tutte positive, nè tutte negative; perciò, delle altre tre coniche, una è immaginaria e le altre due sono reali ma di specie diversa: un’ellisse ed un’iperbole.

Esprimiamo ora le condizioni che la prima conica sia circolare. La sfera di raggio = 1 e col centro all’origine è rappresentata dall’equazione:

t2 sen2 λ + u2 sen2 μ +v2 sen2 ν — 2uv (cos λ — cos μ cos ν)
— 2vt (cos μ — cos ν cos λ) — 2tu (cos ν — cos λ cos μ)
= w2 (1 — cos2 λ — cos2 μ — cos2 ν + 2 cos λ cos μ cos ν),


ove λ, μ, ν sono gli angoli fra gli assi coordinati. Ora, il cerchio immaginario all’infinito è la linea dell’ideale contatto fra la sfera ed il suo cono assintotico; onde, facendo w = 0 nell’equazione precedente, avremo l’equazione del cerchio immaginario richiesto.

Affinchè l’equazione risultante coincida colla prima delle (3) dev’essere:

cos λ = cos μ = cos ν = 0,


cioè i piani diametrali comuni alle superficie (1) devono essere i loro piani principali; ed inoltre:

α = β = γ.


Posto, com’è lecito, α = 1, l’equazione (1) diviene:

(bc + i)t2 + (ca + i)u2 + (ab + i)v2 + 3w2 = 0.


I quadrati de’ semiassi di questa superficie sono: