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| sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. | 153 |
Quindi dal precedente teorema ricaviamo:
Se una retta parallela ad un cilindro congiunto di una superficie di second’ordine incontra questa in due punti, le polonormali di questi punti giacciono nel piano polare di quella retta relativo al cilindro.
23. Se sulla data superficie si fa partire un piano tangente da una posizione iniziale M qualsivoglia, e si fa variare secondo una legge arbitraria, in modo ch’esso generi una superficie sviluppabile circoscritta, la relativa polonormale descriverà, in generale, una superficie gobba. Ma v’hanno per ogni data posizione iniziale del piano tangente (e quindi per ogni dato punto della superficie proposta) due direzioni, per ciascuna delle quali la polonormale del piano tangente mobile genera una superficie sviluppabile. Variando secondo queste due direzioni principali, il piano tangente genera due superficie sviluppabili, circoscritte alla data, tali che le loro caratteristiche, situate nel comune piano tangente M, sono vedute dal centro O sotto angolo retto. Chiameremo principali sì le due or accennate superficie sviluppabili, che le loro caratteristiche.
Quindi in ogni piano M tangente alla superficie abbiamo queste tre rette, degne di nota: la polonormale, e le due caratteristiche principali. Queste due ultime passano pel punto di contatto del piano tangente: tutte e tre insieme poi determinano col centro O una terna di piani ortogonali, i quali sono i piani principali comuni ai coni che hanno il vertice O, e che passano rispettivamente per le sezioni fatte dal piano M ne’ tre cilindri congiunti. Ossia:
In un piano tangente qualunque d’una superficie di second’ordine, la polonormale e le caratteristiche principali formano un triangolo coniugato comune alle tre coniche, secondo le quali il piano tangente sega i tre cilindri congiunti. Le rette, che uniscono i vertici di questo triangolo al centro della superficie, sono gli assi principali comuni ai tre coni che, avendo il vertice al centro anzidetto, hanno per basi quelle coniche.
Ogni piano condotto pel raggio vettore, che va al punto di contatto del piano tangente, sega uno di questi coni secondo due generatrici egualmente inclinate al raggio vettore; dunque:
Se una retta tangente ad una superficie di second’ordine incontra un cilindro congiunto in due punti, le rette condotte da questi al centro della superficie data formano angoli eguali col raggio vettore che va al punto di contatto delta retta tangente.
Al penultimo teorema può darsi anche quest’enunciato:
Se per la polonormale e per le caratteristiche principali di un piano tangente qualunque di una superficie di second’ordine si conducono tre piani paralleli ad uno stesso asse della superficie, questi piani saranno coniugati rispetto al cilindro congiunto parallelo a quell’asse.
Ed inoltre:
