Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/178

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164 intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

Evidentemente tale ipotesi comprende in sè il caso che le inviluppate siano sfere o piani.

1. Sia:

1)
f (x, y, z) = 0


l’equazione di una superficie curva individuata, riferita ad assi rettangolari, e consideriamo in essa il punto qualsivoglia di coordinate x, y, z. Indichiamo per brevità con:

p,     q,     r


i valori delle prime derivate parziali:

          


corrispondenti al punto (x, y, z), e con:

l,     m,     n,          l1,     m1,     n1


i valori delle derivate seconde parziali:

                              


corrispondenti al medesimo punto. Sia poi:

2)
F (X, Y, Z, U, V, W) = 0


l’equazione di una famiglia di superficie, designandosi con X, Y, Z le coordinate correnti, e con U, V, W tre parametri indeterminati. Determiniamo questi parametri per modo che la equazione (2) rappresenti una superficie passante pel punto (x, y, z) della (1) ed ivi avente con questa un contatto di primo ordine. Indicati con:

P,     Q,     R


i valori delle derivate parziali:

          


corrispondenti ad X = x, Y = y, Z = z le equazioni da soddisfarsi saranno:

F (x, y, z, U, V, W) = 0
P : Q : R = p : q : r,


dalle quali si desumano:

U = u (x, y, z),     V = v (x, y, z),     W = w (x, y, z).