Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/182

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168 intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

si ricava:

= (L — kl) α2 + 2 (L1kl1) βγ
+ (M — km) β2 + 2 (M1km1) γα
+ (N — kn) γ2 + 2 (N1kn1) αβ,
= (L — kl) α12 + 2 (L1kl1) β1γ1
+ (M — km) β12 + 2 (M1km1) γ1α1
+ (N — kn) γ12 + 2 (N1kn1) α1β1.


Queste due equazioni si moltiplichino fra loro, membro per membro, e dal risultato sottraggasi il quadrato della (8). Avuto riguardo alle note relazioni:

     


ove ω è l’angolo delle rette (α, β, γ), (α1, β1, γ1), il risultato può scriversi così:


Siano δ, δ1 i raggi di massima e minima curvatura della superficie (1) nel punto (x, y, z); per una nota formola di Gauss1 avremo:


La quantità Φ ha l’analogo significato rispetto alla superficie inviluppata. Ma noi supporremo che per questa il punto (x, y, z) sia un ombelico, ed indicheremo con Δ il corrispondente raggio di curvatura, onde sarà D = D1 = Δ. Avremo dunque:


  1. Disquisitiones generales circa superficies curvas.