Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/184

170

intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

Otteniamo dunque finalmente:

11)	$\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{d}}\right)\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)=\operatorname {sen} ^{2}\omega \left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta }}\right)\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta _{1}}}\right).$

3. Le citate equazioni del prof. Chelini, relative agli ombelichi della superficie, somministrano anche:

$\mathrm {L} ={\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}-{\frac {p}{qr}}(\mathrm {L} _{1}p-\mathrm {M} _{1}q-\mathrm {N} _{1}r),$ $\mathrm {M} ={\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}-{\frac {q}{rp}}(-\mathrm {L} _{1}p+\mathrm {M} _{1}q-\mathrm {N} _{1}r),$$\mathrm {N} ={\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}-{\frac {r}{pq}}(-\mathrm {L} _{1}p-\mathrm {M} _{1}q+\mathrm {N} _{1}r),$

e per conseguenza:

Lαα₁ + Mββ₁ + Nγγ₁ + L₁ (βγ₁ + γβ₁) + M₁ (γα₁ + αγ₁) + N₁ (αβ₁ + βα₁)
= ${\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}$ (αα₁ + ββ₁ + γγ₁)
+ ${\frac {\mathrm {L} _{1}}{qr}}$ (— p²αα₁ + (qβ + rγ) (qβ₁ + rγ₁))
+ ${\frac {\mathrm {M} _{1}}{rp}}$ (— q²ββ₁ + (rγ + pα) (rγ₁ + pα₁))
+ ${\frac {\mathrm {N} _{1}}{pq}}$ (— r²γγ₁ + (pα + qβ) (pα₁ + qβ₁))

d’onde, avuto riguardo alle identità:

αα₁ + ββ₁ + γγ₁ = cos ω,     pα + qβ + rγ = 0,     pα₁ + qβ₁ + rγ₁ = 0,

otteniamo:

Lαα₁ + Mββ₁ + Nγγ₁ + L₁ (βγ₁ + γβ₁) + M₁ (γα₁ + αγ₁) + N₁ (αβ₁ + βα₁)
= ${\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}$ cos ω.