Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/235

intorno ad un’operetta di giovanni ceva.

221

Se imaginiamo le infinite trasversali, analoghe ad M’N’, tutte appoggiate alle tre rette AD, BC, PQ, esse saranno le generatrici di quella superficie gobba che denominasiFig 8 iperboloide ad una falda. In virtù del precedente teorema, le infinite trasversali, analoghe a PQ, tutte appoggiate alle tre rette AB, CD, MN saranno pure generatrici della medesima superficie. Cioè questa superficie ammette due sistemi di rette generatrici: ogni generatrice dell’un sistema incontra tutte quelle dell’altro, mentre due generatrici del medesimo sistema non sono mai nello stesso piano.

Settimo teorema (di Carnot). Se un punto preso entro un poligono piano di un numero dispari di lati si congiunga a ciascun vertice, e la congiungente si prolunghi sino a determinare due segmenti sul lato rispettivamente opposto, i due prodotti formati coi segmenti non adiacenti sono eguali.

Ecco la dimostrazione di questa proprietà, che è la generalizzazione del teorema di Ceva.

Abbiasi, a cagion d’esempio, il pentagono 1 2 3 4 5; imaginiamo delle forze, P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, in equilibrio, applicate al punto interno O e dirette rispettivamente verso i vertici 1, 2, 3, 4, 5. Decomponiamo ciascuna di queste forze in due componenti parallele applicate ai termini del lato rispettivamente opposto. Indichiamo con C₁₃, C₁₄, le componenti della forza P₁, con C₂₄, C₂₅ le componenti della forza P₂, ecc.; con S₁₃, S₁₄ i segmenti determinati sul lato 34 dalla direzione della forza P₁; con S₂₄, S₂₅ i segmenti determinati dalla direzione della forza P₂ sul lato 45, ecc.; con α₁₂ ovvero α₂₁ l’angolo compreso dalle direzioni delle forze P₁, P₂, ecc. Allora, per le note leggi della decomposizione delle forze parallele, avremo le seguenti cinque equazioni:

C₄₁ S₄₁ = C₄₂ S₄₂
C₅₂ S₅₂ = C₅₃ S₅₃
C₁₃ S₁₃ = C₁₄ S₁₄
C₂₄ S₂₄ = C₂₅ S₂₅
C₃₅ S₃₅ = C₃₁ S₃₁.

In questo modo a ciascun vertice sono applicate due forze componenti. Noi potremo