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| sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. | 231 |
est commune a trois hyperboloïdes, donc il y a quarante-cinq hyperboloïdes pour six points donnés sur la cubique gauche.
On déduit très aisément du théorème fondamental donné ci-dessus la suivante proposition de M. Chasles1:
Quand un eptagone gauche a ses sommets situés sur une cubique gauche, le plan de l’un quelconque des angles de l’eptagone et les plans des deux angles adjacens rencontrent respectivement les côtés opposés en trois points qui sont dans un plan passant par le sommet du premier angle.
V.
13. Une cubique gauche peut avoir trois asymptotes réelles, ou bien une seule asymptote réelle et deux imaginaires. Comme cas particuliers, la courbe peut avoir une seule asymptote réelle a distance finie, et les deux autres coïncidentes à l’infini, ou bien elle peut être osculée par le plan à l’infini. Il serait bon d’adopter les dénominations que M. Seydewitz2 propose pour ces quatre formes de cubique gauche, savoir: hyperbole gauche; ellipse gauche; hyperbole parabolique gauche; parabole gauche.
L’ellipse gauche a deux plans osculateurs parallèles entre eux qui coupent la surface developpable (dont la courbe est l’arête de rebroussement) suivant deux paraboles; tous les autres plans osculateurs coupent la même surface suivant des ellipses ou des hyperboles. Les centres de toutes ces coniques sont sur une hyperbole dont le plan est parallèle et equidistant aux deux plans osculateurs parallèles. Une branche de l’hyperbole locale contient les centres des ellipses; l’autre branche contient les centres des hyperboles. Les points de la cubique auxquels correspondent des ellipses sont situés entre les plans osculateurs parallèles; les points auxquels correspondent des hyperboles sont au dehors. Le plan de l’hyperbole locale rencontre la cubique en un seul point réel3 et coupe les cônes du second ordre qui passent par la courbe suivant des ellipses.
L’hyperbole gauche n’a pas de plans osculateurs parallèles; tous ses plans osculateurs coupent la surface développable qu’ils enveloppent suivant des hyperboles, dont les centres sont sur une ellipse. Le plan de cette ellipse rencontre la cubique en trois points réels,
- ↑ Aperçu etc. l. c.
- ↑ Grunerts, Archiv etc. X, p. 203.
- ↑ Chaque plan passant par une droite intersection de deux plans osculateurs réels (imaginaires) coupe la cubique gauche en un seul point réel (en trois points réels): théorème que j’ai démontré ailleurs (Annali di Matematica, gennaio-febbraio 1859). M. Joachimsthal avait donné ce même théorème dans la savante Note qui suit le mémoire de M. Schröter (ce Journal, B. 56, p. 45)
