Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/258

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244 prolusione ad un corso di geometria superiore.


Finalmente, quelle stesse teorie danno la chiave per isciogliere il famoso enimma de’ porismi d’Euclide, che per tanti secoli ha eccitato invano la curiosita de’ geometri: enimma che ora ha cessato di esser tale, mercè la stupenda divinazione fattane da Michele Chasles1.

Nè qui lo studio delle forme geometriche più semplici sara finito per noi; anzi ci resterà a svilupparne la parte più bella e più attraente. Concepite in un piano due punteggiate o due stelle projettive; subito vi balenerà al pensiero questo problema, quale è la curva inviluppata dalla retta che unisce due punti omologhi delle due punteggiate, e quale è il luogo del punto ove s’intersecano due raggi corrispondenti delle due stelle? In entrambi i quesiti la curva richiesta è una sezione conica che nel primo caso tocca le due rette punteggiate e nel secondo passa pei centri dei due fasci. Reciprocamente: prendete una conica qualunque e due sue tangenti fisse, scelte ad arbitrio; quindi una tangente mobile scorra intorno alla curva pigliando tutte le posizioni possibili di una retta toccante; ebbene, i punti di successiva intersezione della tangente mobile colle tangenti fisse formeranno, su di queste, due punteggiate projettive. Ovvero imaginate sulla conica due punti fissi ed un punto mobile che percorra la curva: le rette congiungenti i due punti fissi al punto mobile genereranno due fasci proiettivi.

Nulla v’ha di più fecondo, per la teoria delle coniche, di questi due meravigliosi teoremi, trovati, io credo, simultaneamente da Chasles e da Steiner. II segreto della grande fecondita de’ due teoremi sta in cio che il primo di essi esprime una proprieta di sei tangenti e l’altro una proprieta di sei punti di una eonica. Dico sei: perche fissate quattro posizioni dell’elemento mobile, e queste vi daranno insieme coi due elementi fissi due sistemi di quattro punti o di quattro rette; scrivete l’eguaglianza de’ rapporti anarmonici ed avrete espressa la proprieta di cui si tratta.

Immediate conseguenze delle suenunciate proposizioni sono i due famosi teoremi di Pascal e di Brianchon esprimenti quello che i punti d’incontro de’ lati opposti di un esagono inscritto in una conica sono in linea retta, e questo che le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto concorrono in uno stesso punto. Il secondo teorema si ricava dal primo in virtù del principio di dualità. Questo principio, in quanto si applichi alle sole proprietà descrittive, è un semplice assioma, cioè non ha bisogno di alcuna dimostrazione o preparazione, e consiste in ciò che ogni teorema di geometria piana dà luogo ad un altro che si ricava dal primo permutando le parole punto e retta; ed analogamente per la geometria nello spazio scambiando punto e piano. Fin dalle prime lezioni della scienza di cui qui v’intrattengo, voi vedrete sorgere spontaneo, naturale il concetto di questa dualità delle proprietà geo-


  1. Chasles, Les trois livres de porismes d’Euclide, Paris 1860.