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| 248 | prolusione ad un corso di geometria superiore. |
preso nell’omologia, nel quale que’ due punti coincidono, cioè ad ogni punto del piano ne corrisponde un’altro unico, a qualunque forma venga quello attribuito. Questo caso dicesi omologia armonica (Bellavitis) od involuzione nel piano (Möbius).
Voi avrete frequenti occasioni d’incontrare quest’incontestabile verità, la quale a primo aspetto sembra un paradosso: che tutt’i punti dello spazio i quali siano a distanza infinita si ponno risguardare come appartenenti ad un unico piano, e per conseguenza i punti a distanza infinita di un dato piano giacciono in linea retta. In due forme omografiche, questa verità emerge confermata dal fatto che ad un sistema di rette parallele nell’una forma corrisponde nell’altra un sistema di rette concorrenti in un punto; il qual punto, ove si muti la direzione di quelle rette parallele, genera una linea retta, che corrisponde per conseguenza all’infinito della prima forma. Ciascuna forma ha dunque in generale una retta a distanza finita, i punti della quale corrispondono ai punti a distanza infinita nell’altra. Ma vi ha un caso particolare dell’omografia nel quale all’infinito dell’una forma corrisponde l’infinito nell’altra, cioè a rette parallele corrispondono rette parallele. Tale specie di omografia chiamasi affinità (Eulero), e per essa ha luogo la proprietà che il rapporto delle aree di due porzioni corrispondenti delle date forme è costante. Quando questo rapporto sia l’unità, si ha l’equivalenza.
Si considerino ora due piani projettivi correlativi e si suppongano sovrapposti l’uno all’altro in modo del tutto arbitrario. Allora, se si ricerca il luogo dei punti che vengono a cadere nelle rispettive rette omologhe, si trova che quei punti sono in una conica e che le rette ad essi corrispondenti inviluppano un’altra conica. Le due coniche hanno doppio contatto (reale o imaginario), e i due punti di contatto col punto di segamento delle tangenti comuni sono i soli che, considerati come appartenenti all’una o all’altra forma, abbiano in entrambi i casi la stessa retta corrispondente. Quei due punti poi che corrispondono alla retta all’infinito, attribuita questa or alla prima ed ora alla seconda forma, chiamansi centri delle due forme e danno luogo a importanti considerazioni. Noi avremo a studiare l’alterarsi di forma e di posizione delle due coniche fondamentali, quando i due piani correlativi si facciano scorrere l’uno sull’altro. Se la sovrapposizione è tale che i due centri coincidano in un punto solo, questo riesce il centro comune delle due coniche che sono in tal caso anche omotetiche. Messi i piani in tal posizione l’uno sull’altro, se mantenendo fisso il primo, si fa ruotare il secondo intorno al centro comune, le due coniche si vanno deformando pur mantenendosi sempre concentriche ed omotetiche; ma la rotazione può esser fatta di tale ampiezza che le due coniche vengano a ridursi ad una sola. Allora un punto qualunque avrà per corrispondente un’unica retta, sia esso aggiudicato all’uno o all’altro piano; e questa retta non sara altro che la polare del punto relativamente alla
