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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 271 |
una conica, la quale è la polare di o rispetto all’anzidetta linea del terz’ordine. Ma è d’altronde noto, che quando una linea del terz’ordine ha un punto doppio, tutte le prime polari passano per esso; dunque:
La prima superficie polare di un punto arbitrario rispetto ad una superficie gobba del terzo grado è un iperboloide passante per la retta doppia1.
Se quel piano segante π si facesse passare per uno de’ due punti cuspidali della retta doppia, la sezione avrebbe ivi un punto doppio con due tangenti coincidenti, cioè una cuspide o regresso; epperò, siccome è noto che una linea del terz’ordine, avente una cuspide, è ivi toccata da tutte le coniche prime polari, così:
I piani che toccano una superficie gobba del terzo grado ne’ punti cuspidali della retta doppia, sono tangenti nei medesimi punti all’iperboloide polare di un punto arbitrario2.
Se immaginiamo ancora il piano segante π, come sopra, è noto3 che la retta tirata da o al punto doppio della linea di terz’ordine e la tangente in questo punto alla conica polare, sono conjugate armoniche rispetto alle due tangenti della linea di terz’ordine nel punto stesso; dunque:
In un punto qualunque della retta doppia di una superficie gobba del terzo grado, l’angolo de’ due piani tangenti a questa superficie è diviso armonicamente dal piano che ivi tocca l’iperboloide polare e dal piano condotto al polo4.
Il piano oD condotto dalla retta doppia al polo, toccherà esso pure l’iperboloide polare in un punto o’ (della retta D); epperò, in virtù del precedente teorema, nel punto o’ il piano tangente all’iperboloide è uno dei piani che nel punto stesso toccano la superficie Σ. Per trovare il punto o’, si conduca il piano oD che seghi la seconda direttrice E nel punto o’’; il piano tangente alla superficie Σ in o’’, segherà evidentemente la retta doppia nel punto desiderato.
- ↑ |La prima polare di un punto arbitrario rispetto ad una superficie gobba d’ordine qualunque passa per la curva doppia di questa superficie.|
- ↑ |I piani che toccano una superficie gobba qualunque nei punti cuspidali della curva doppia sono tangenti nei medesimi punti alla prima polare di un punto arbitrario.|
- ↑ Veggasi l’eccellente trattato On the higher plane curves dell’illustre geometra irlandese Giorgio Salmon (Dublin, 1852, pag. 61).
- ↑ |In un punto qualunque m della curva doppia di una superficie gobba d’ordine n (ha luogo la stessa proprietà per una superficie qualunque che abbia un punto biplanare m) l’angolo di due piani tangenti a questa superficie è diviso armonicamente dal piano che ivi tocca la prima polare di un punto arbitrario o e dal piano condotto al polo o (per la retta tangente in m alla curva doppia). Ne segue che la superficie data e la prima polare di o si toccheranno (oltre ai punti cuspidali) in quei punti della curva doppia dove la prima polare è toccata da piani passanti per o; cioè ne’ punti ove la curva doppia è incontrata dalla seconda polare di o.|
