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| 274 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
dell’iperboloide, del sistema a cui appartiene D, incontra la superficie del terzo grado, epperò anche la curva di quart’ordine, in tre punti. Invece, ogni generatrice dell’iperboloide, dell’altro sistema, essendo appoggiata alla retta doppia, incontra la superficie del terzo grado, e quindi la curva di quart’ordine, in un solo punto. Questa proprietà basta per mostrare quanto questa curva sia diversa dalla curva, dello stesso ordine, intersezione di due superficie del secondo. Dunque:
Il luogo delle intersezioni del piani corrispondenti di tre fasci projettivi, il primo semplice di piani passanti per una stessa retta, il secondo doppio involutorio di piani passanti per un’altra retta, il terzo, omografico al secondo, di piani passanti per una terza retta data, è una curva del quart’ordine, per la quote passa un’unica superficie del second’ordine, l’iperboloide, cioè, generato dall’intersezione degli ultimi due fasci. Ciascuna generatrice dell’iperboloide, del sistema a cui appartengono la seconda e la terza retta data, incontra quella curva in tre punti, mentre ogni generatrice dell’altro sistema non l’incontra che in un solo punto.
Ciascuno riconoscerà qui le proprietà di quella curva che l’illustre Steiner1 trovò come intersezione di una superficie (non rigata) del terz’ordine con un iperboloide passante per due rette situate in quella superficie, ma non nello stesso piano. Benchè nel teorema superiore, la superficie del terz’ordine non sia qualunque, ma rigata, e l’iperboloide abbia con essa in comune, non due rette distinte, ma la retta doppia, tuttavia la curva da me incontrata è generale quanto quella del sommo geometra alemanno. In altra occasione mi propongo di dimostrare questa proprietà, ed anche che, data una curva di tale natura, epperò dato l’iperboloide che passa per essa, ogni generatrice dell’iperboloide, appoggiata alla curva in tre punti, può essere presa come retta doppia di una superficie gobba del terzo grado, passante per la curva, ed avente per seconda direttrice la retta congiungente due punti dati della curva medesima. Intanto proporrei che a questa si desse la denominazione di curva gobba del quart’ordine e di seconda specie.
22. Ritornando all’iperboloide polare del punto o, rispetto alla superficie Σ, cerchiamo quali siano i tre punti in cui la curva intersezione delle attuali due superficie, si appoggia alla retta doppia D. Essi sono i punti doppj delle due serie projettive determinate su questa retta dai fasci che hanno per assi le rette E e ρ’σ’. Ma in questi fasci si corrispondono i piani AE e σ’; BE e ρ’; o’E ed o’(ρ’σ’). Dunque:
L’iperboloide polare di un punto qualunque, rispetto ad una superficie gobba del terzo grado, sega questa secondo una curva del quart’ordine e di seconda specie che passa
- ↑ Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 53.
