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| 276 | sulle superficie gobbe del terz’ordine. |
è anche il luogo dei punti di contatto de’ piani che ponno condursi da o a toccare Σ, cioè è la curva di contatto fra questa superficie e il cono ad essa circoscritto col vertice in o. Questo cono è della terza classe, poichè la classe del cono involvente è la stessa della superficie inscritta. Le generatrici cuspidali sono quelle che vanno ai punti r, s, t (n.º 23). Il piano oE tocca il cono lungo le due rette ou, ov (n.º 19); epperò il cono medesimo, avendo un piano tangente doppio, è del quart’ordine.
26. Ometto per brevità di riportare qui i teoremi correlativi. In questi, alla curva di quart’ordine e seconda specie corrisponde una superficie sviluppabile della quarta classe, essenzialmente distinta da quella della stessa classe, sola conosciuta finora, che è formata dai piani tangenti comuni a due superficie del second’ordine. Tale superficie sviluppabile, che tocca la superficie gobba del terzo grado lungo la curva intersezione fatta da un piano arbitrario, è circoscritta ad un’unica superficie del second’ordine (un iperboloide). Per ogni generatrice di uno stesso sistema di questo iperboloide passano tre piani tangenti della sviluppabile, mentre per ogni generatrice dell’altro sistema passa un solo piano tangente.
La sviluppabile medesima può essere con tutta generalità definita come l’inviluppo de’ piani tangenti comuni ad una superficie gobba del terzo grado, e ad un iperboloide passante per la direttrice non doppia di quella. Per conseguenza, ecco come può costruirsi tale inviluppo:
Date tre serie projettive di punti, sopra tre rette situate comunque nello spazio; la prima serie semplice, la seconda doppia involutoria, la terza omografica alla seconda; i piani determinati dalle terne di punti corrispondenti, inviluppano la sviluppabile richiesta.
NOTA
Si consideri una superficie gobba del terzo grado, come il luogo di una retta che si muova appoggiandosi ad una conica e a due rette D, E, la prima delle quali abbia un punto comune colla conica (vedi il n.º 9). Sia x = 0 l’equazione del piano che passa per la retta D e per la traccia di E sul piano della conica, y = 0 il piano che passa per E e per la traccia di D sul piano della conica medesima; z = 0 il piano che passa per E e pel polo, relativo alla conica, della retta congiungente le traccie di D, E; w = 0 il piano passante per D e tangente alla conica. Allora l’equazione della superficie può scriversi:
y (x2 + kw2) — xzw = 0,
ove k è una costante, dal segno della quale dipende l’essere reali o immaginarj i punti cuspidali. Ciò dà luogo a due generi, essenzialmente distinti, di superficie gobbe del terzo grado.
