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| 284 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
e reciprocamente, ad ogni punto di L corrisponde un punto della curva. Cioè, ciascun punto della curva è rappresentato da un punto della retta; onde possiamo dire che la serie de’ punti di L è projettiva alla serie de’ punti sulla curva gobba1.
Quindi, per rapporto anarmonico di quattro punti della curva intenderemo il rapporto anarmonico de’ quattro punti corrispondenti nella retta L; ed in particolare, diremo che quattro punti della curva gobba sono armonici, quando lo siano i quattro punti corrispondenti di L.
Il rapporto anarmonico de’ quattro piani condotti per quattro punti dati della curva gobba di quart’ordine e seconda specie e per una stessa retta appoggiata alla curva in tre altri punti è costante, qualunque sia questa retta.
Ossia:
Se intorno a due rette appoggiate alla curva gobba, di quart’ordine e seconda specie in tre punti, si fanno rotare due piani che si seghino sempre sulla curva, questi piani generano due fasci omografici.
§ 3.
Applicando alle cose suesposte il noto principio di dualità geometrica, si conclude, esservi due distinte superficie sviluppabili di quarta classe, cioè la sviluppabile formata dai piani tangenti comuni a due superficie di secondo grado, e la sviluppabile toccata dai piani tangenti comuni ad un iperboloide e ad una superficie di terza classe contenente due generatrici dell’iperboloide, non situate in uno stesso piano.
La prima di esse, che può chiamarsi sviluppabile di quarta classe e prima specie, è circoscritta ad infinite superficie di secondo grado, ed ogni generatrice rettilinea di queste superficie è l’intersezione di due piani tangenti della sviluppabile. Non v’ha alcuna retta, per la quale passino tre piani tangenti.
Invece l’altra, che diremo sviluppabile di quarta classe e seconda specie, è circoscritta ad una sola superficie di secondo grado, che è un iperboloide. Tutte le generatrici di questo iperboloide, di uno stesso sistema, sono intersezioni di tre piani tangenti della sviluppabile, mentre per ogni generatrice dell’altro sistema passa un solo piano tangente della sviluppabile.
Così se, data una sviluppabile di quarta classe, troviamo esservi una retta per la quale passano tre piani tangenti di quella, possiamo immediatamente concludere,
- ↑ Questo modo di rappresentare i punti di una curva gobba sopra una retta può essere applicato alle curve gobbe d’ordine qualsivoglia n, descritte sull’iperboloide, che seghino in n — 1 punti le generatrici di un sistema ed in un solo punto quelle dell’altro.
