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| 308 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
m non si possono condurre altri piani tangenti; dunque l’inviluppo richiesto è della seconda classe, cioè:
Da un punto qualunque della curva K si possono condurre tre piani ad oscularla in altri punti. I punti di contatto determinano un piano, l’inviluppo del quale è un cono di secondo grado.
§ 20.
Per un punto qualunque dello spazio passano quattro piani doppiamente tangenti alia curva K (§ 16); dunque, i piani doppiamente tangenti di questa curva formano una sviluppabile W di quarta classe.
Siccome la curva K è situata nella sviluppabile W, così la generatrice di questa sviluppabile, posta in un suo piano tangente, dee passare pei punti in cui questo piano tocca la curva. Dunque, se m è un punto qualunque di K e se la tangente in m incontra le tangenti ne’ punti m’, m’’ della stessa curva (§ 13), le rette mm’, mm’’ sono generatrici della sviluppabile W. E siccome, di tali generatrici, ne passano due per ogni punto della curva K, così questa è doppia per la sviluppabile anzidetta. Dunque.
La retta congiungente due punti della curva K, ove questa sia toccata da due tangenti situate in uno stesso piano, ha per luogo geometrico una sviluppabile W di quarta classe. Questa sviluppabile è doppiamente circoscritta alla curva K; e viceversa questa è la curva doppia della sviluppabile W.
Le quattro tangenti T della curva K sono evidentemente generatrici della sviluppabile W, epperò rette comuni a questa superficie e all’iperboloide I. Così i piani doppiamente tangenti alla curva K (in t e t’) e passanti per le rette medesime, sono piani tangenti comuni alle superficie W ed I. Queste superficie, essendo l’una della quarta classe e l’altra della seconda, devono avere otto piani tangenti comuni; ed infatti, ciascuno dei quattro suindicati conta per due, perchè in esso le due superficie hanno una generatrice comune.
Siccome le generatrici della superficie W sono rette incontranti due volte la curva K, così esse non possono incontrare l’iperboloide I, fuori di questa curva. Dunque, la completa intersezione delle due superficie W ed I consta delle quattro generatrici T e della curva K, la quale è da contarsi due volte, perchè doppia sulla sviluppabile W. Ne segue che la completa intersezione delle due superficie è del dodicesimo ordine, cioè:
La sviluppabile W, doppiamente circoscritta alla curva K, è del sesto ordine.
Tagliando la sviluppabile W con un piano arbitrario, la sezione sarà una linea del sest’ordine e della quarta classe, con quattro punti doppi. Dunque, per le formole
