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| 310 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
Se m, m’ sono due punti della curva K, ove questa sia toccata da due rette situate in uno stesso piano, la retta comune intersezione dei piani osculatori alla detta curva in m, m’ è tangente alla curva D, nel punto ove s’incontrano le due tangenti di K.
Per conoscere l’ordine e la classe della sviluppabile, formata dalle tangenti della curva D, ricordiamo che questa è del sest’ordine, ha quattro punti stazionari e nessun punto doppio (§ 15) ed è doppiamente toccata dai piani osculatori della curva K. Dunque, un cono prospettivo alla curva D, preso il vertice arbitrariamente nello spazio, sarà del sest’ordine ed avrà quattro generatrici cuspidali e sei piani tangenti doppi. Onde, fatto nelle formole di Plücker m = d’ = 6, s = 4, ricaviamo m’ = d = 6, s’ = 4. Cioè:
La sviluppabile osculatrice della curva D è della quarta classe e del sest’ordine.
Questa sviluppabile non può avere un piano doppiamente tangente. Se ne avesse uno, esso sarebbe anche un piano tangente alla sviluppabile V, cioè osculerebbe D in due punti e K in un punto: e questi tre punti sarebbero situati sopra una stessa retta, tangente a K. Quindi, quel piano segherebbe la sviluppabile V lungo una linea del quart’ordine, che avrebbe due punti multipli ed un punto ordinario sopra una stessa retta tangente nel punto ordinario; il che è manifestamente assurdo.
Ciò premesso, se noi tagliamo la sviluppabile osculatrice della curva D con un suo piano tangente, la sezione sarà una curva di quart’ordine e terza classe con tre cuspidi; epperò vi sarà una tangente doppia. Questa, non potendo corrispondere ad un piano doppiamente tangente, sarà l’intersezione di altri due piani tangenti, oltre quello che si considera. Vi sono pertanto infinite rette, ciascuna delle quali è l’intersezione di tre piani osculatori della curva D; ossia, la sviluppabile osculatrice di questa curva è di quarta classe e seconda specie, epperò circoscritta ad un solo iperboloide, sul quale sono situate le rette per le quali passano tre piani osculatori di D.
Perciò, anche la curva D è situata sopra una superficie di second’ordine, ciascuna generatrice della quale (in entrambi i sistemi) incontra la curva tre volte.
Appare così manifesto che la curva D è affatto analoga alla curva H.
Io non protrarrò oltre queste ricerche, cui sarà agevole allo studioso lettore continuare quanto gli piaccia. Il quale avrà certamente notato le intime e scambievoli relazioni che esistono e si riproducono fra curve di quarto e sesto ordine e sviluppabili di quarta e sesta classe, i tipi delle quali sono K, D, W, V. Ciascuna di queste curve esiste sopra una sola superficie di secondo grado; e così pure ciascuna di quelle sviluppabili è circoscritta ad una sola superficie dello stesso grado. Le altre curve e sviluppabili che si ricavano da quelle quattro riduconsi agli stessi tipi. Infatti: la curva cuspidale di W è analoga a D; la sviluppabile osculatrice di D è analoga a W, e per conseguenza ha una curva doppia analoga a K; ecc.
Anzi, quei quattro tipi sono riducibili a due soli K e D; giacchè W e V corrispon-
