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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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dunque:

$\operatorname {sen}(\mathrm {A'B'C'D'} )=\operatorname {sen}(\mathrm {ABCD} )$.

Concludiamo che: date due forme projettive, il rapporto anarmonico di quattro elementi quali si vogliano dell’una è uguale al rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti elementi dell’altra.

Da ciò consegue che, nello stabilire la projettività fra due forme geometriche, si ponno assumere ad arbitrio tre coppie d’elementi corrispondenti, per es. $aa',\,bb',\,cc'$. Allora, per ogni altro elemento $m$ dell’una forma, il corrispondente elemento $m'$ dell’altra sarà individuato dalla condizione dell’eguaglianza de’ rapporti anarmonici $(a'b'c'm'),\,(abcm)$.

9. Supponiamo che due rette punteggiate projettive vengano sovrapposte l’una all’altra; ossia imaginiamo due punteggiate projettive sopra una medesima retta, quali a cagion d’esempio si ottengono segando con una sola trasversale due stelle projettive. La projettività delle due punteggiate è rappresentata dall’equazione 2):

$im.j'm'=k$.

Per mezzo di essa cerchiamo se vi sia alcun punto $m$ che coincida col suo corrispondente $m'$.

Se le due punteggiate s’imaginano generate dal movimento simultaneo de’ punti corrispondenti $m,\,m'$, è evidente che questi due punti si moveranno nello stesso senso o in sensi opposti, secondo che la costante $k$ sia negativa o positiva.

Sia $k>0$. In questo caso è manifesto che si può prendere sul prolungamento del segmento $j'i\dots$ un punto $e$ tale che si abbia $ie.j'e=k$. E se si prenderà sul prolungamento di $ij'\dots$ un punto $f$, che sia distante da $j'$ quanto $e$ da $i$, sarà $if.j'f=k$. Cioè i punti $e,\,f$, considerati come appartenenti ad una delle due punteggiate, coincidono coi rispettivi corrispondenti.

Ora sia $k=-h^{2}$. I punti $m,\,m'$ non potranno, in questo caso, coincidere che entro il segmento $ij'$. Si tratta adunque di dividere questo segmento in due parti $im,\,mj'$, il rettangolo delle quali sia $h^{2}$. Quindi, se $2h<ij'$, vi saranno due punti $e,\,f$ sodisfacenti alla questione: essi sono i piedi delle ordinate perpendicolari ad $ij'$ ed eguali ad $h$, del semicircolo che ha per diametro $ij'$. Se $2h=ij'$, non vi sarà che il punto medio di $ij'$ che coincida col proprio corrispondente. Da ultimo, se $2h>ij'$, la quistione non ammette soluzione reale.

Concludiamo che due punteggiate projettive sovrapposte hanno due punti comuni¹ (reali, imaginari o coincidenti), equidistanti dal punto medio del segmento $ij'$.

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1. {O punti uniti.}