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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Ceva,¹ si ha:

${\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}:{\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}=-{\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Quando il punto $m$ è sopra una delle due rette ${\rm {CA,\,CB}}$, una delle due coordinate è nulla. Se $m$ è sopra ${\rm {AB}}$, le due coordinate sono entrambe infinite, ma è finito il loro rapporto, che è espresso da $-{\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Supponiamo che $m$ si muova sopra una retta data: i punti $a$ e $b$ genereranno sopra ${\rm {CB}}$ e ${\rm {CA}}$ due punteggiate projettive, cioè ad ogni posizione del punto $a$ corrisponderà una sola posizione di $b$ e reciprocamente. Dunque, fra i rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ che determinano i due punti $a,\,b$, avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascun d’essi. Siccome poi, nel punto in cui la retta data incontra ${\rm {AB}}$, entrambi i rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ diventano infiniti, così quell’equazione non può essere che della forma:

1)	$\lambda {\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}+\mu {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}+\nu =0$.

Questa relazione fra le coordinate di un punto qualunque $m$ di una retta data è ciò che si chiama equazione della retta.

Di quale forma sarà la relazione fra le coordinate di $m$, se questo punto si muove percorrendo una curva d’ordine $n$? Una retta qualunque, la cui equazione sia la 1), incontra la curva in $n$ punti; quindi la relazione richiesta e l’equazione 1) dovranno essere simultaneamente sodisfatte da $n$ coppie di valori delle coordinate ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$; la qual cosa esige necessariamente che la richiesta relazione sia del grado $n$ rispetto alle coordinate del punto variabile, considerate insieme.

Dunque, se il punto $m$ percorre una curva d’ordine $n$, fra le coordinate variabili di $m$ avrà luogo una relazione costante della forma:

2)	$\alpha \left({\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n}+\left[\beta +\gamma {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right]\left({\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n-1}+\dots +\pi \left({\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right)^{n}+\rho =0$,

la quale può dirsi l’equazione della curva luogo del punto mobile.

Reciprocamente: se il punto $m$ varia per modo che fra le sue coordinate abbia luogo una relazione costante della forma 2), il luogo del punto $m$ è una curva d’ordine $n$.

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1. Dato da Ceva nel 1678.       [Einleitung]