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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

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Ora affinchè sia soddisfatta la condizione dell’attuale problema, è necessario e sufficiente che la retta MN riesca parallela ad una delle bisettrici degli angoli compresi dalle rette (15).

Il punto comune alle (15) è:

x : y : z = ${\frac {a(b^{2}-c^{2})}{\operatorname {sen} \mathrm {A} }}$ : ${\frac {b(c^{2}-a^{2})}{\operatorname {sen} \mathrm {B} }}$ : ${\frac {c(a^{2}-b^{2})}{\operatorname {sen} \mathrm {C} }}$

e la parallela ad MN condotta per questo punto sarà:

(bc + as) x sen A + (ca + bs) y sen B + (ab + cs) z sen C = 0.

D’altra parte, posto:

h² = a² sen² A + b² sen² B + c² sen² C — 2bc sen B sen C cos A —
— 2ca sen C sen A cos B — 2ab sen A sen B cos C

k² = ${\frac {1}{a^{2}}}$ sen² A + ${\frac {1}{b^{2}}}$ sen² B + ${\frac {1}{c^{2}}}$ sen² C — ${\frac {2}{bc}}$ sen B sen C cos A —
— ${\frac {2}{ca}}$ sen C sen A cos B — ${\frac {2}{ab}}$ sen A sen B cos C,

le due bisettrici degli angoli compresi dalle rette (15) sono rappresentate dalla doppia equazione:

${\frac {h\pm ka^{2}}{a}}$ x sen A + ${\frac {h\pm kb^{2}}{b}}$ y sen B + ${\frac {h\pm kc^{2}}{c}}$ z sen C = 0.

Quindi indicata con i un’indeterminata, per condizione del problema dovrà essere:

a (bc + as) = i (h ± ka²)

b (ca + bs) = i (h ± kb²)

c (ab + cs) = i (h ± kc²)

da cui moltiplicando ordinatamente per b — c, c — a, a — b e sommando si ha:

± ik = s

quindi, ciascuna delle precedenti dà:

hs = ± k abc

cioè due valori per la s, epperò due sistemi di due rette omologhe divise in parti eguali dai loro punti omologhi. Siccome poi, per uno di questi sistemi la retta LM è