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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/403

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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 389


Una serie d’indice e d’ordine sia projettiva ad una serie d’indice e d’ordine ; di quale ordine è la linea luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Ossia, in una retta trasversale arbitraria quanti punti esistono, per ciascun de’ quali passino due curve corrispondenti? Sia un punto qualunque della trasversale, pel quale passano curve della prima serie; le corrispondenti curve della seconda serie incontreranno la trasversale in punti . Se invece si assume ad arbitrio un punto nella trasversale e si considerano le curve della seconda serie che passano per esso, le corrispondenti curve della prima serie segano la trasversale in punti . Dunque a ciascun punto corrispondono punti ed a ciascun punto corrispondono punti . Cioè, se i punti , si riferiscono ad una stessa origine (fissata ad arbitrio nella trasversale), fra i segmenti , avrà luogo un’equazione di grado rispetto ad e di grado rispetto ad . Onde, se coincide con , si avrà un’equazione del grado in , vale a dire, la trasversale contiene punti del luogo richiesto. Abbiamo così il teorema generale1:

Date due serie proiettive di curve, l’una d’indice e d’ordine , l’altra d’indice e d’ordine , il luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti è una linea dell’ordine .70

(a) Per , questo teorema dà l’ordine della curva luogo delle intersezioni delle linee corrispondenti in due fasci projettivi (50). E nel caso di si ha:

Se le tangenti di una curva della classe corrispondono projettivamente, ciascuna a ciascuna, alle tangenti di un’altra curva della classe , il luogo del punto comune a due tangenti omologhe è una linea dell’ordine .

(b) Analogamente si dimostra quest’altro teorema, che può anche conchiudersi da quello ora enunciato, in virtù del principio di dualità:

Se a ciascun punto di una data curva d’ordine corrisponde, in forza di una certa legge, un solo punto di un’altra curva data dell’ordine , e reciprocamente, se ad ogni punto di questa corrisponde un sol punto di quella, la retta che unisce due punti omologhi inviluppa una curva della classe .

84. Data una serie d’indice e d’ordine , cerchiamo di quale indice sia la serie delle polari me d’un dato punto rispetto alle curve della serie proposta. Quante polari siffatte passano per un punto qualunque, ex. gr. per lo stesso punto dato ? Le sole polari passanti pel polo sono quelle relative alle curve della data serie, che s’incrociano in , e queste sono in numero . Dunque:

Le polari me di un dato punto, rispetto alle curve d’ordine d’una serie d’indice , formano una serie d’indice e d’ordine . La nuova serie è projettiva alla prima.


  1. Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117.