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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Una serie d’indice ${\rm {M}}$ e d’ordine $m$ sia projettiva ad una serie d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n$; di quale ordine è la linea luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Ossia, in una retta trasversale arbitraria quanti punti esistono, per ciascun de’ quali passino due curve corrispondenti? Sia $a$ un punto qualunque della trasversale, pel quale passano ${\rm {M}}$ curve della prima serie; le ${\rm {M}}$ corrispondenti curve della seconda serie incontreranno la trasversale in $\mathrm {M} n$ punti $a'$. Se invece si assume ad arbitrio un punto $a'$ nella trasversale e si considerano le ${\rm {N}}$ curve della seconda serie che passano per esso, le ${\rm {N}}$ corrispondenti curve della prima serie segano la trasversale in $\mathrm {N} m$ punti $a$. Dunque a ciascun punto $a$ corrispondono $\mathrm {M} n$ punti $a'$ ed a ciascun punto $a'$ corrispondono $\mathrm {N} m$ punti $a$. Cioè, se i punti $a$, $a'$ si riferiscono ad una stessa origine $o$ (fissata ad arbitrio nella trasversale), fra i segmenti $oa$, $oa'$ avrà luogo un’equazione di grado $\mathrm {M} n$ rispetto ad $oa'$ e di grado $\mathrm {N} m$ rispetto ad $oa$. Onde, se $a'$ coincide con $a$, si avrà un’equazione del grado $\mathrm {M} n+\mathrm {N} m$ in $oa$, vale a dire, la trasversale contiene $\mathrm {M} n+\mathrm {N} m$ punti del luogo richiesto. Abbiamo così il teorema generale¹:

Date due serie proiettive di curve, l’una d’indice ${\rm {M}}$ e d’ordine $m$, l’altra d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n$, il luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti è una linea dell’ordine $\mathrm {M} n+\mathrm {N} m$.⁷⁰

(a) Per ${\rm {M=N=1}}$, questo teorema dà l’ordine della curva luogo delle intersezioni delle linee corrispondenti in due fasci projettivi (50). E nel caso di $m=n=1$ si ha:

Se le tangenti di una curva della classe ${\rm {M}}$ corrispondono projettivamente, ciascuna a ciascuna, alle tangenti di un’altra curva della classe ${\rm {N}}$, il luogo del punto comune a due tangenti omologhe è una linea dell’ordine ${\rm {M+N}}$.

(b) Analogamente si dimostra quest’altro teorema, che può anche conchiudersi da quello ora enunciato, in virtù del principio di dualità:

Se a ciascun punto di una data curva d’ordine ${\rm {M}}$ corrisponde, in forza di una certa legge, un solo punto di un’altra curva data dell’ordine ${\rm {N}}$, e reciprocamente, se ad ogni punto di questa corrisponde un sol punto di quella, la retta che unisce due punti omologhi inviluppa una curva della classe ${\rm {M+N}}$.

84. Data una serie d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n$, cerchiamo di quale indice sia la serie delle polari $(r)$^me d’un dato punto $o$ rispetto alle curve della serie proposta. Quante polari siffatte passano per un punto qualunque, ex. gr. per lo stesso punto dato $o$? Le sole polari passanti pel polo $o$ sono quelle relative alle curve della data serie, che s’incrociano in $o$, e queste sono in numero ${\rm {N}}$. Dunque:

Le polari $(r)$^me di un dato punto, rispetto alle curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice ${\rm {N}}$, formano una serie d’indice ${\rm {N}}$ e d’ordine $n-r$. La nuova serie è projettiva alla prima.

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1. Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117.