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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

In una serie d’indice ${\rm {M}}$ e d’ordine $m$ vi sono $\mathrm {M} \left(n(n+2m-3)-2\delta -3\chi \right)$ curve che toccano una data linea d’ordine $n$, dotata di $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi¹.

(d) Per $\mathrm {M} =m=1$ si ha:

Il numero delle rette tangenti che da un dato punto si possono condurre ad una curva d’ordine $n$, avente $\delta$ punti doppi e $\chi$ cuspidi, è $n(n-1)-2\delta -3\chi$: risultato già ottenuto altrove (74, c).

88. In un fascio d’ordine $m$ quante sono le curve dotate di un punto doppio? Assunti ad arbitrio tre punti $o,\,o',\,o''$ (non situati in linea retta), le loro prime polari relative alle curve del dato fascio formano (84, a) tre altri fasci projettivi d’ordine $m-1$, ne’ quali si considerino come curve corrispondenti le polari di $o,\,o',\,o''$ rispetto ad una stessa curva del fascio proposto. Se una delle curve date ha un punto doppio, in esso s’intersecano le tre corrispondenti prime polari di $o,\,o',\,o''$ (73). Dunque i punti doppi delle curve del dato fascio sono que’ punti del piano pei quali passano tre curve corrispondenti de’ tre fasci projettivi di prime polari.

Ora, il primo ed il secondo fascio, colle mutue intersezioni delle linee corrispondenti, generano (50) una curva d’ordine $2(m-1)$; ed un’altra curva dello stesso ordine è generata dal primo e terzo fascio. Queste due curve passano entrambe per gli $(m-1)^{2}$ punti-base del primo fascio di polari; epperò esse si segheranno in altri $3(m-1)^{2}$ punti, i quali sono evidentemente i richiesti. Cioè:

Le curve d’ordine $m$ di un fascio hanno $3(m-1)^{2}$ punti doppi.

(a) Le curve date si tocchino fra loro in un punto $o$, talchè una di esse, ${\rm {C_{m}}}$, abbia ivi un punto doppio (47). Il punto $o'$ sia preso nella tangente comune alle curve date, ed $o''$ sia affatto arbitrario. Le prime polari di $o$ relative alle curve del fascio proposto passano tutte per $o$, ivi toccando $oo'$ (71); ed una di esse, quella che si riferisce a ${\rm {C_{m}}}$, ha in $o$ un punto doppio (72). Anche le polari di $o'$ passano tutte per $o$ (70); ma fra le polari di $o''$ una sola passa per $o$, quella cioè che corrisponde a ${\rm {C_{m}}}$ (73).

Le polari di $o$ e quelle di $o'$ generano una curva dell’ordine $2(m-1)$, per la quale $o$ è un punto doppio ed $oo'$ una delle relative tangenti (52, a). E le polari di $o$ con quelle di $o''$ generano un’altra curva dello stesso ordine, anch’essa passante due volte per $o$ (51, b). Dunque il punto $o$, doppio per entrambe le curve d’ordine $2(m-1)$, equivale a quattro intersezioni. In $o$ le polari di questo punto si toccano, epperò gli altri punti-base del fascio da esse formato sono in numero $(m-1)^{2}-2$. Oltre a questi punti e ad $o$ le due curve d’ordine $2(m-1)$ avranno $4(m-1)^{2}-4-\left((m-1)^{2}-2\right)=3(m-1)^{2}-2$ intersezioni comuni.

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1. Bischoff, Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 56, Berlino 1859, p. 172). — Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 120.