Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/414

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sostituisconsi due curve qualunque del fascio determinato da quelle. Sostituendo a la curva tangente in alla retta , le prime polari di tutt' i punti di relative a passeranno per (70). Per passa anche la prima polare di relativa a ; quindi la tangente in alla curva sarà la retta che ivi tocca la prima polare di rispetto a (51, a), ossia la retta . Dunque: quando le curve sono dello stesso ordine e passano per , anche la curva passa per ed ivi tocca quella retta a cui essa corrisponde.

(b) Essendo un punto doppio per la curva , le prime polari, relative ad essa, di tutt'i punti della retta passano per ed ivi toccano una medesima retta , la coniugata armonica di rispetto alle due tangenti di nel punto doppio (74, c).

La curva (93) è generata da due fasci projettivi, l'uno delle prime polari de' punti di rispetto a , l'altro delle prime polari de' medesimi punti rispetto a . Le curve del primo fascio hanno in una stessa tangente . E alla curva del secondo fascio che passa per , cioè alla prima polare di rispetto a , corrisponde la prima polare di relativa a , ossia quella curva del primo fascio per la quale è un punto doppio. Per conseguenza, qualunque sia la retta , la curva generata dai due fasci ha in un punto doppio (51, b). Inoltre, quando sia una delle tangenti di nel punto doppio (51, d), ovvero quando sia tangente in alla curva , nel qual caso anche le curve del secondo fascio passano per (52, a), in entrambi questi casi, dico, la retta è una delle tangenti a nel punto doppio .

Dunque : se e hanno un punto comune che sia doppio per , la curva relativa ad una data retta (passante per ) ha un punto doppio in ; ed è una delle due relative tangenti, ogniqualvolta essa sia tangente in ad una delle due curve date.

(c) Così abbiamo veduto che, nel caso preso in considerazione, il punto appartiene a tutte le curve relative alle rette condotte per esso (a) ed è doppio per tutte le curve corrispondenti alle rette medesime (b). Dunque (52) sarà un punto triplo per la complessiva curva d'ordine generata dai due fasci projettivi delle e delle (93). Ma di questa curva complessiva fa parte la prima polare di relativa a , la quale prima polare passa una volta per ; dunque questo punto è doppio per la curva rimanente d'ordine , cioè per la Jacobiana.

Le rette sono tangenti (a) alle relative curve ; dunque (52) le tangenti alla curva risultante d'ordine nel punto triplo saranno quelle rette che toccano anche le relative curve . Ma tocca la corrispondente (b) quando è tangente a o a ; epperò le tre tangenti nel punto triplo sono la tangente a e le due tangenti di . Di queste tre rette, la prima è tangente (71) alla prima polare di relativa a ; dunque le altre due sono le tangenti della Jacobiana nel punto doppio .