Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/433

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

419

Art. XIX.

Curve descritte da un punto, le indicatrici del quale variino con legge data.

112. Riprendendo il caso generale d’una curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine qualsivoglia $n$, cerchiamo di condurre per un dato punto $p$ una retta che tocchi ivi la prima polare d’alcun punto $o$ della retta medesima¹. Le prime polari passanti per $p$ hanno i loro poli nella retta polare di questo punto. Se inoltre $p$ dev’essere il punto di contatto della prima polare con una tangente condotta dal polo $o$, anche la seconda polare di $o$ dovrà passare per $p$ (70); talchè $o$ sarà una delle intersezioni della retta polare colla conica polare di $p$, cioè $po$ dev’essere tangente alla conica polare di $p$.

Dunque le rette che risolvono il problema sono le due tangenti che da $p$ si possono condurre alla conica polare di questo punto, ossia le due indicatrici del punto $p$ (90, c).

(a) Se $p$ è un punto dell’Hessiana, la sua conica polare è un pajo di rette incrociantisi nel corrispondente punto $o$ della Steineriana, pel quale passa anche la retta polare di $p$. I punti di questa retta sono poli di altrettante prime polari passanti per $p$ ed ivi aventi una comune tangente (90, a); donde segue che questa è un’indicatrice del punto $p$. Ma le indicatrici di $p$ sono insieme riunite nella retta $po$ (90, c); dunque (98, b):

La retta che unisce un punto dell’Hessiana al corrispondente punto della Steineriana tocca nel primo di questi punti tutte le prime polari passanti per esso.

Ond’è che la linea della classe $3(n-1)(n-2)$, inviluppo delle tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le prime polari (91, b), può anche essere definita come l’inviluppo delle rette che uniscono le coppie di punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana (98, b).

(b) Data una retta ${\rm {R}}$, in essa esistono $2(n-2)$ punti, ciascun dei quali, $o$, è il polo d’una prima polare tangente ad ${\rm {R}}$ in un punto $p$ (103, c); epperò in una retta qualunque vi sono $2(n-2)$ punti, per ciascuno de’ quali essa è un’indicatrice.

Se ${\rm {R}}$ è una tangente della curva fondamentale, nel punto di contatto sono riuniti due punti $o$ ed i due corrispondenti punti $p$.

113. Quale è il luogo del punto $p$, se una delle sue indicatrici passa per un punto fisso $i$? Ciascuna retta condotta per $i$ contiene $2(n-2)$ posizioni del punto $p$ (112,b); ed $i$ rappresenta altri due punti $p$, corrispondenti alle due indicatrici dello stesso punto $i$. Dunque il luogo richiesto è una curva ${\rm {L^{ii}}}$ dell’ordine $2(n-2)+2=2(n-1)$, che passa due volte per $i$.

---

1. Clebsch, l. c. p. 280-285.