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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 449


Una tangente qualunque della Cayleyana sega l’Hessiana in due punti corrispondenti, cioè aventi lo stesso tangenziale, ed in un terzo punto che è il coniugato armonico del punto di contatto della Cayleyana rispetto ai primi due (135, c).
In un punto qualunque dell’Hessiana concorrono tre tangenti della Cayleyana; due di esse sono corrispondenti, cioè la retta che ne unisce i punti di contatto è una tangente della Cayleyana; la terza poi è la coniugata armonica, rispetto alle due prime, della tangente all’Hessiana in (135, a).

Da questa perfetta reciprocità segue che le proprietà della Cayleyana si potranno conchiudere da quelle dell’Hessiana e viceversa. Per esempio:

I nove punti , ne’ quali l’Hessiana è toccata dalle sue tangenti stazionarie, sono i flessi anche delle infinite curve di terzo ordine passanti pei medesimi.
Le nove rette tangenti alla Cayleyana nelle cuspidi, sono tangenti cuspidali per tutte le infinite curve di terza classe ch’esse toccano.
Al fascio di queste curve appartengono quattro trilateri, cioè i nove flessi sono distribuiti a tre a tre su dodici rette , delle quali in ogni punto ne concorrono quattro.
Alla serie di queste curve appartengono quattro triangoli, cioè le nove rette concorrono a tre a tre in dodici punti , ciascuna di quelle contenendo quattro di questi.
I vertici dei quattro trilateri sono i dodici punti 1.
I lati dei quattro triangoli sono le dodici rette .
Fra le curve di terz’ordine aventi i flessi in comune coll’Hessiana v’è anche la cubica fondamentale , rispetto alla quale l’Hessiana è il luogo di un punto che abbia per conica polare un pajo di rette, e la Cayleyana è l’inviluppo di queste rette.
Fra le curve di terza classe aventi per tangenti cuspidali le rette ve n’ha una 2, rispetto alla quale la Cayleyana è l’inviluppo di una retta il cui primo inviluppo polare (82) sia una coppia di punti, e l’Hessiana è il luogo di questi punti.
Le tangenti stazionarie della cubica toccano l’Hessiana e la Cayleyana ne’ punti comuni a queste due curve.
Le cuspidi della curva sono i nove punti ove l’Hessiana e la Cayleyana si toccano.

142. Dato un fascio di cubiche, una trasversale qualunque le incontra in terne di punti formanti un’involuzione di terzo grado, e ne’ punti doppi di questa la trasversale tocca quattro cubiche del fascio (49). Se le cubiche sono sizigetiche (ossia se hanno i nove flessi comuni) e se la trasversale è la polare armonica di un flesso , le tre intersezioni di una qualunque fra quelle cubiche sono i punti di contatto fra essa e


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  1. Questa proprietà sarà dimostrata fra poco (142).
  2. È desiderabile una definizione di questa curva come inviluppo di una retta variabile.