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seconde solution de la question 369.

est ${\frac {n}{m}}$ (Salmon, Conic sections, p. 53) et le rapport anharmonique des droites conjuguées $\mathrm {DC}$, $\mathrm {DB}$, $\mathrm {D} \alpha$, $\mathrm {D} a_{1}$,

${\begin{aligned}p-q&=0,\\r-p&=0,\\p-q-(r-p)&=0,\\p-q-{\frac {n_{1}}{m}}(r-p)&=0,\end{aligned}}$

est ${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$; donc les points $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, $\alpha$, $a$, $a_{1}$ seront en involution si l’on a

$mm_{1}=nn_{1}$.

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois systèmes de cinq points

$\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\alpha ,a,a_{1},$

$\mathrm {C} ,\mathrm {A} ,\beta ,b,b_{1},$

$\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\gamma ,c,c_{1},$

($\alpha$, $\beta$, $\gamma$ points doubles) soient en involution, seront

$ll_{1}=mm_{1}=nn_{1}$.

Il s’ensuit qu’en prenant arbitrairement la droite $\mathrm {R}$,

$lp+mq+nr=0$,

la droite $\mathrm {R} _{1}$ sera

${\frac {p}{l}}+{\frac {q}{m}}+{\frac {r}{n}}=0.$

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