Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/487

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rivista bibliografica. 473

lettera e nel combinare le equazioni analoghe di più piani per via di somma o sottrazione. Collo stesso metodo simbolico sono dimostrati nella quarta lezione parecchi eleganti teoremi relativi alle figure sferiche, e nominatamente all’esagono di Pascal.

In quelle quattro lezioni l’autore non fa uso che delle ordinarie coordinate cartesiane ortogonali. Nella quinta lezione sono introdotte le coordinate planari e tangenziali, già inventate da Chasles e Plücker, e col mezzo di esse l’autore sviluppa, rispetto ad un sistema di punti nello spazio, le proprietà analoghe a quelle precedentemente esposte per un sistema di piani.

Nella sesta lezione troviamo le coordinate omogenee, ossia quattro coordinate per rappresentare sì un punto che un piano, onde l’equazione di un luogo o di un inviluppo, con tali coordinate, riesce omogenea. Il signor Hesse, co’ suoi scritti, ha molto contribuito a divulgare e rendere popolari queste coordinate omogenee, che alcuni tenaci del passato guardano con sospetto e disprezzo, e che pur giovano tanto alla simmetria ed alla facilità del calcolo. Nelle successive lezioni, l’autore fa uso quasi esclusivamente di coordinate omogenee per rappresentare sì i punti che i piani.

Affinchè i giovani suoi uditori o lettori non fossero costretti a cercare altrove quelle teorie analitiche sulle quali egli fonda i suoi metodi, l’autore ha consacrato la settima lezione all’esposizione de’ principali teoremi relativi ai determinanti, e l’ottava alle funzioni omogenee.

Nelle lezioni successive s’incontrano le fondamentali proprietà delle superficie di second’ordine; le relazioni fra le coordinate di un polo e quelle del piano polare, la doppia rappresentazione di una superficie di second’ordine come luogo di punti e come inviluppo di piani, il principio di reciprocità (teoria delle polari reciproche di Poncelet), le proprieta de’ coni e delle coniche considerati come caso particolare de’ luoghi e degl’inviluppi di secondo grado, ecc. Le lezioni sedicesima e diciassettesima (come anche la ventiduesima), sono tra le più belle in questo libro che è tutto bello da capo a fondo. Vi si considerano i tetraedri polari relativi ad una o a due o a più superficie, di secondo grado; il lettore troverà qui dimostrati con ammirabile e luminosa spontaneità quei molti teoremi che già furono trovati dall’autore e pubblicati nel giornale di Crelle.

La ricerca del tetraedro polare comune a due superficie di second’ordine conduce, com’è noto, alla riduzione delle equazioni di queste superficie ai soli termini quadrati, mediante un solo sistema di sostituzioni lineari. Questo importante problema analitico, che già fu scopo alle ricerche di Jacobi, di Cayley e di Weierstrass, e trattato dal sig. Hesse, con evidente predilezione. La lezione diciottesima è consacrata alla trasformazione delle funzioni omogenee di un numero qualunque di variabili, ed invero: dapprima sono sviluppate le relazioni che sussistono fra i coefficienti delle sostituzioni lineari, in generale; poi seguono le proprietà di quelle sostituzioni lineari che ridu-