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beiträge zur geometrie der lage.

Date due forme elementari, e nell’una il sistema $\mathrm {ABC}$, nell’altra il sistema $\mathrm {E'F'G'}$, sia $x$ l’ascissa d’un elemento $\mathrm {M}$ della prima forma rispetto al sistema $\mathrm {ABC}$, ed $y$ l’ascissa d’un elemento $\mathrm {M} '$ della seconda forma, rispetto al sistema $\mathrm {E'F'G'}$. Gli elementi $\mathrm {M}$, $\mathrm {M} '$ si chiamano corrispondenti; se fra le loro ascisse ha luogo una relazione della forma

$\alpha xy+\beta x+\gamma y+\delta =0$

ove $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ sono costanti, ed $\alpha \delta -\beta \gamma$ non è zero, le due forme sono projettive.

2.° Cinque punti $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, $\mathrm {C} '$, $\mathrm {C} ''$, disposti comunque nello spazio, si suppongano individuati. Ogni punto $\mathrm {M}$ dello spazio sarà determinato da’ tre piani passanti per esso e rispettivamente per le rette $\mathrm {C''C'}$, $\mathrm {CC''}$, $\mathrm {C'C}$. I rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro piani $\mathrm {C''C'(ABCM)}$, $\mathrm {CC''(ABC'M)}$, $\mathrm {C'C(ABC''M)}$ sono le coordinate del punto $\mathrm {M}$.

3.° Cinque piani $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, $\mathrm {C} '$, $\mathrm {C} ''$ qualunque si suppongano individuati. Qualsivoglia altro piano $\mathrm {M}$ sarà individuato dai tre punti in cui esso è incontrato dalle rette $\mathrm {C''C'}$, $\mathrm {CC''}$, $\mathrm {C'C}$. I rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro punti $\mathrm {C''C'(ABCM)}$, $\mathrm {CC''(ABC'M)}$, $\mathrm {C'C(ABC''M)}$ sono le coordinate del piano $\mathrm {M}$.

4.° Si suppongano individuate tre rette generatrici $a,b,c$ (d’uno stesso modo di generazione) d’un iperboloide ad una falda, e tre rette generatrici $l,m,n$ (dell’altro modo di generazione) della stessa superficie. Un punto qualunque $\mathrm {M}$ non posto sulla superficie è determinato dai piani condotti per esso e rispettivamente per le rette $l,m,n$; le sue coordinate sono i rapporti anarmonici de’ tre sistemi di quattro piani $l(abc\mathrm {M} )$, $m(abc\mathrm {M} )$, $n(abc\mathrm {M} )$. Se il punto $\mathrm {M}$ è nella superficie, all’intersezione delle due generatrici rettilinee $p$, $q$ appartenenti ordinatamente ai sistemi $abc...$, $lmn...$, le coordinate di detto punto $\mathrm {M}$ sono i rapporti anarmonici de’ fasci, $abcp$, $lmnq$.

Desidero che questo breve cenno invogli i giovani studiosi della geometria alla lettura del pregevole opuscolo del sig. Staudt.

1 marzo 1858.

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