Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/62

48

sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

retta congiungente il punto xyz al punto comune ai piani osculatori ne’ punti θ₁ θ₂ θ₃. Questa retta, quando varii il punto θ₃ restando fissi θ₁ θ₂, genera il piano:

${\frac {x}{\theta _{1}\theta _{2}}}+{\frac {y}{\theta ^{2}}}+{\frac {z}{(\theta -\theta _{1})(\theta -\theta _{2})}}=0$

il quale passa per la retta comune intersezione de’ piani osculatori a’ punti θ₁ θ₂. Variando θ₂ il piano anzidetto inviluppa il cono:

((θ — θ₁)(θx — θ₁y) — θθ₁z)² + 4θθ₁ (θ — θ₁)² xy = 0

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$ossia

$(lx)^{\frac {1}{2}}+(my)^{\frac {1}{2}}+(nz)^{\frac {1}{2}}=0.$          ove          ${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=0$$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

il quale passa per la conica comune intersezione del piano osculatore al punto θ₁ e della superficie 3). Finalmente, variando anche θ₁, i coni analoghi al precedente sono inviluppati dal cono di terzo ordine

(x + y + z)³ — 27 xyz = 0

il quale è quello che ha il vertice al punto xyz e passa per la cubica gobba. Dunque: tutt’i coni aventi il vertice in uno stesso punto qualunque dello spazio e passanti rispettivamente per le coniche nelle quali i piani osculatori d’una cubica gobba segano il fascio delle tangenti a questa linea, sono inviluppati dal cono di terz’ordine che ha il vertice al medesimo punto dello spazio e passa per la cubica gobba.

13. Considero i piani osculatori in sei punti della cubica gobba 2), i parametri dei quali siano θ, θ₁, θ₂, θ₃, lo zero e l’infinito, e il piano osculatore in un settimo punto di parametro ω. Pongo:

A = x,   D = y,   A — 3θB + 3θ²C — θ³D = z,   A — 3ωB + 3ω²C — ω³D = w,

quindi:

ωθ (ω — θ) (A — 3θ_rB + 3θ²_rC — θ³_rD) = ωθ_r (ω — θ_r) z
+ (ω — θ) [θ_r] (x — ωθθ_ry) + θθ_r (θ_r — θ) w

ove

[θ_r] = (θ_r — ω) (θ_r — θ).

Posto inoltre:

φ_r = ωθ_r (ω — θ_r)z + (ω — θ) [θ_r] (x — ωθθ_ry)

le sei rette nelle quali i primi sei piani osculatori tagliano il piano w = 0, prese in