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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

le cordinate de:’ punti 7, 3, 5. Le equazioni de’ piani 321, 217, 176 sono:

${\frac {\mathrm {B} }{\beta }}={\frac {\mathrm {C} }{\gamma }};\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {B} }{b}}={\frac {\mathrm {C} }{c}};\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {B} }{b}}={\frac {\mathrm {D} }{d}}$

e quelle delle rette 65, 54, 43:

${\frac {\mathrm {A} }{t}}={\frac {\mathrm {B} }{u}}={\frac {\mathrm {D} }{w}};\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {A} }{t}}={\frac {\mathrm {C} }{v}}={\frac {\mathrm {D} }{w}};\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {A} }{\alpha }}={\frac {\mathrm {C} }{\gamma }}={\frac {\mathrm {D} }{\delta }}$

quindi pe’ tre punti d’incontro si ha:

A : B : C : D = t : u : ${\frac {\gamma }{\beta }}$ u : w;          A : B : C : D = t : ${\frac {b}{c}}$v : v : w;

A : B : C : D = α : ${\frac {b}{d}}$δ : γ : δ

e la condizione richiesta sarà:

${\frac {\mathrm {dS} }{\mathrm {d} x_{1}}}=0$          ove          $S={\begin{vmatrix}{\frac {1}{t}}&{\frac {1}{u}}&{\frac {1}{v}}&{\frac {1}{w}}\\{\frac {1}{a}}&{\frac {1}{b}}&{\frac {1}{c}}&{\frac {1}{d}}\\{\frac {1}{\alpha }}&{\frac {1}{\beta }}&{\frac {1}{\gamma }}&{\frac {1}{\delta }}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\end{vmatrix}}.$

Se si risguarda questa condizione come relativa al punto 1, le analoghe condizioni relative ai punti 4, 6, 2 saranno:

${\frac {\mathrm {dS} }{\mathrm {d} x_{2}}}=0,$          ${\frac {\mathrm {dS} }{\mathrm {d} x_{3}}}=0,$          ${\frac {\mathrm {dS} }{\mathrm {d} x_{4}}}=0.$

Si indichino queste equazioni, nelle quali siansi tolti tutt’i divisori, con:

T₁ = 0,          T₂ = 0,          T₃ = 0,          T₄ = 0.

Le analoghe condizioni relative ai punti 7, 3, 5 saranno:

a²T₁ + b²T₂ + c²T₃ + d²T₄ = 0,          α²T₁ + β²T₂ + γ²T₃ + δ²T₃ = 0,

t²T₁ + u²T₂ + v²T₃ + w²T₄ = 0.

Queste tre equazioni sono dunque conseguenze delle prime quattro. Anzi le prime quattro equivalgono a due sole indipendenti, il che si dimostra facilissimamente, rammentando una nota proprieta de’ determinanti.