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| 56 | sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. |
21. Si trasformi la funzione quadratica a quattro variabili A, B, C, D:
AD — BC
sostituendo alle variabili medesime altrettante funzioni lineari di altre variabili A’, B’, C’, D’, e si determinino i coefficienti della sostituzione in modo che la funzione trasformata sia:
A’D’ — B’C’.
Applicando le formole che il professor Brioschi dà in una sua Nota sulle forme quadratiche (Annali di Tortolini, giugno 1854), si trova la seguente sostituzione:
| = λ’μ’A’ + μ’B’ + λ’C’ + D’ = λμ’A’ + μ’B’ + λC’ + D’ = λ’μA’ + μB’ + λ’C’ + D’ = λμA’ + μB’ + λC’ + D’ |
o reciprocamente:
| = A — λB — μC + λμD = A — λ’B — μC + λ’μD = A — λB — μ’C + λμ’D = A — λ’B — μ’C + λ’μ’D. |
Le quantità a, b, c, d, λ, μ, λ’, μ’ sono legate da due sole condizioni.
ad = bc =
per cui la sostituzione contiene sei arbitrarie, fra loro indipendenti.
Per un sistema di valori particolari di queste arbitrarie otterremo sull’iperboloide:
AD — BC = A’D’ — B’C’ = 0
