Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/72

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58 sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.



ossia, posto :

2 — μ) [h2 — μ’)(ω — λ)2 + (ω2 — μ)(ω — λ’)2] = 0

2 — μ’) [h2 — μ’)(ω — λ)2 + (ω2 — μ)(ω — λ’)2] = 0


equazioni che ammettono in comune le quattro soluzioni della:

10)
h2 — μ’)(ω — λ)2 + (ω2 — μ)(ω — λ’)2 = 0


dunque: due cubiche gobbe situate su di uno stesso iperboloide e seganti entrambe in due punti una stessa generatrice hanno in generale quattro punti comuni (28).

Ponendo A : B : C : D = ω3 : ω2 : ω : 1 nelle 9) per trovare in quanti punti si segano le linee 1) e 9), e posto inoltre , si hanno le:

(ω — λ) (k2 — μ)2(ω — λ’) + (ω2 — μ’)2(ω — λ)) = 0

(ω — λ’) (k2 — μ)2(ω — λ’) + (ω2 — μ’)2(ω — λ)) = 0


equazioni ammettenti in comune le cinque soluzioni della:

k2 — μ)2(ω — λ’) + (ω2 — μ’)2(ω — λ) = 0


cioè: se due cubiche gobbe poste su di uno stesso iperboloide incontrano una stessa generatrice, l’una in un punto, l’altra in due punti, esse si segano generalmente in cinque punti (28).

Reciprocamente: due cubiche gobbe aventi cinque punti comuni sono sempre situate su di uno stesso iperboloide. Infatti l’equazione più generale di un iperboloide passante per la prima delle due linee contiene due costanti arbitrarie; si determinino queste in modo che la superficie passi per altri due punti della seconda linea; allora questa avendo sette punti comuni colla superficie dell’iperboloide giacerà per intero su di essa (30).

23. Consideriamo sull’iperboloide:

AD — BC = A’D’ — B’C’ = 0


un sistema di cubiche gobbe aventi quattro punti comuni. Queste cubiche saranno rappresentate dalle equazioni 8) nelle quali si variino le λ, μ, λ’, ecc. in modo però da serbare inalterata l’equazione 10) che dà i punti comuni alla cubica 1) ed alla 8). Per maggior semplicità supponiamo che due di questi punti comuni alle cubiche siano